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Lycée POTHIER ORLEANS

1999 CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES
EPREUVE SPECIFIQUE-FILIERE MP
PHYSIQUE 1
A-Mouvements d’une particule en contact avec une cuvette paraboloïque
1.Moment cinétique
a) Avec les coordonnées cylindriques: OM = ρ eρρ + z ez, , d’où v(M) = ρ& e ρρ + ρ ϕ& e ϕϕ + z& e z.
b) Le moment cinétique en O s’écrit: LO = m OM ∧ v(M), d’où:
LO = m [ ρ2 ϕ& e z + (z ρ& - ρ z& ) e ϕϕ - ρ z ϕ& e ρρ ].
La projection selon l’axe Oz est alors: LOz = m ρ2 ϕ& .
c) R est normal au plan tangent et il y a invariance par rotation autour de l’axe Oz, donc le vecteur normal est
dans le plan OHP. On en déduit que R.e ϕϕ = 0.
La dérivée de la composante de LO selon e z est alors:
dLOz d( L O . e z )
= = [OM ∧ (R + m g)].e z = (e z ∧ OM) . (R + m g)
dt dt
...= ρ e ϕϕ ∧ (R + m g) = 0.
On en déduit que LOz est une constante, donc que: m ρ2 ϕ& = cste = L .
On suppose que la constante L est homogène à un moment cinétique, mais ce n’est pas précisé.

2.Energie
1 1
a) EK = m v 2 = m [ ρ& 2 + ρ2 ϕ& 2 + z& 2]
2 2
b) Les forces extérieures sont:
la réaction R qui ne travaille pas puisqu’il y a glissement sans frottement
le poids qui dérive de l’énergie potentielle m g z + cste.
ρ2
On en déduit l’énergie potentielle: EP = m g z = m g puisque EP(0) = 0 et qu’on suppose la particule en
a
contact avec le support, donc: ρ2 = a z.
c) Les forces étant conservatives, l’énergie mécanique de M est une constante:
Em = EK + EP = cste .
3.Discussion générale du mouvement
1 ρ2 ρ2 ρ ρ& L
a) Em = EK + EP = m [ ρ& 2 + ρ2 ϕ& 2 + z& 2] + m g , avec: z = , donc: z& = 2 , et ϕ& = , ce qui
2 a a a m ρ2
1  ρ2  ρ2 L2 1
donne: Em = mρ& 2 1+4 2 +m g + , qui est de la forme Em = m ρ& 2 G (ρ ) + E p , ef ( ρ) , avec:
2  a  a 2mρ 2 2

ρ2 ρ2 L2
G(ρ) = 1 + 4 2 et E p ,ef ( ρ) = m g + .
a a 2 m ρ2
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 1
b) Le graphe de Ep,ef (ρ) est le suivant, somme d’une courbe en ρ2 et d’une autre en :
ρ2


Ep,ef




L2
ρ2
mg
a 2 m ρ2

ρm ρ


1
dE p,ef2m g ρ L2  L2 a  4
m 
= − = 0 pour ρ = 
dρ m ρ3  2m 2 g  , qui correspond à l’égalité des deux termes de Ep,ef .
a  
1 ρ2
c) Em = m ρ& 2 G (ρ ) + E p , ef ( ρ) , avec G(ρ) = 1 + 4 2 > 0, donc: Em ≥ Ep,ef (ρ).
2 a
On cherche alors les valeurs de ρ qui vérifient cette équation. On
constate qu’on doit avoir Em ≥ Ep,ef (ρm), et dans ce cas, ρ est compris E p,ef
entre deux valeurs ρmin et ρmax, correspondant à deux cercles d’altitude
ρmin ρmax
2 2

zmin = et zmax = . ρmin et ρmax sont solution de l’équation:
a a Em
Em = Ep,ef (ρ).
ρmin ρm ρmax

4.Etude de quelques mouvements particuliers
a) La trajectoire est une parabole méridienne si ϕ = cste, donc
ϕ& = 0. La relation L = m ρ2 ϕ& s’écrit alors L = 0.

ρ2
b) La trajectoire de M est un cercle horizontal si z& = 0. Alors z = cste = . On en déduit que ρ = cste, ce qui
a
1
 L a 2 4
n’est possible que pour ρ = ρm =   . De plus L = m ρ2 ϕ& = cste impose ϕ& = cste = ϕ& 0 .
 2m 2 g 
 
L L 2 m2 g 2g
On a alors: ϕ& 0 = = = .
mρ m
2 2
L a a

2g
Conclusion: on doit lancer la particule avec la vitesse v0 = ϕ& 0 e ϕϕ telle que ϕ& 0 = , en n’importe quel point
a
(ce qui n’était pas évident à priori). La constante L est alors définie par la valeur initiale de ρ0.


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 c) En posant ε = ρ - ρm, on fait un développement limité de Ep,ef (ρ) autour de ρm au deuxième ordre en ε. Il
1 2  d E p,ef 
2
 dE p,ef 

vient: Ep,ef (ρ) = Ep,ef (ρm) + ε   + ε .

 dρ  ρ=ρm 2  dρ
2 
 ρ=ρm

 d 2 E p ,ef  2m g 3L2  d 2 E p,ef 
Or  =   8m g
+ , donc: = .
 dρ 2  a mρ 4  dρ 2  a
    ρ=ρm

ρ2 ρ
2

Puisque G(ρ) = 1 + 4 2 = 1 + 4 m2 (à l’ordre zéro qui nous intéresse ici), on déduit l’expression de l’énergie
a a
1  ρ  2
4mg 2
mécanique: Em = mρ& 2 1+4 m2  +E p ,ef (ρm )+ ε .
2  a  a

.. ..
L’énergie mécanique est constante, sa dérivée par rapport au temps est nulle. En notant que ρ& = ε& , ρ = ε et en
simplifiant par ε& (puisque l’expression est valable pour tout ε& ), on obtient:

.. 8 g 1
ε+ ε=0
a 4 ρm 2
1+ 2
a

8g 1
qui est l’équation d’un oscillateur harmonique de pulsation propre ω0 telle que: ω02 = , et donc de
a 4 ρm 2
1+ 2
a

2π a  4ρm 2 
période T0 = =2π 1+ 2  , soit numériquement: T0 = 1,42 s.
ω0 8g  a 

5.Réalisation du contact
dv
La relation fondamentale de la dynamique appliquée à M s’écrit: m = m g + R e n.
dt
v2
En projection sur la normale à la trajectoire: m = m g.n + R où ρc est le rayon de courbure (positif). Or
ρc
g.n < 0, donc R est la somme de deux termes positifs: R > 0.
6. Dans la pratique, il y a des frottements qui