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Catégorie :Category: mViewer GX Creator Lua TI-Nspire
Auteur Author: LPB
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Mis en ligne Uploaded: 17/04/2021 - 06:13:51
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Téléchargements Downloads: 22
Visibilité Visibility: Archive publique
Shortlink : http://ti-pla.net/a2725200
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Description
Chap 14 : Matrices
Chap 14 : Matrices
I. Généralités
corps commutatif, I , J ensembles finis non vides totalement ordonnés.
MI , J ( ) F ( I J , ) est un ev (lorsqu'il est muni des lois naturelles).
Pour A MI , J ( ), A(i, j ) est le coefficient d'indice (i, j ) de A [ai j ](i , j )I J
( Ei j )(i , j )I J de MI J ( ) définie par Ei , j (i, j ) 1 et Ei j (k , l ) 0 (si (k , l ) (i, j )) est une base de MI J ( )
dim MI , J ( ) | I || J | Si I J 1, n , Ei j Ek l j k Ei l
n n
[ X ] Mn ( )
Si P ak X k [ X ] et A Mn ( ), on pose P( A) ak Ak est un mph d'algèbres
k 0 k 1 P P ( A)
II. Matrice d’un endomorphisme
E, F ev de dim n et m, u L ( E, F ), (e) (e1...en ) base de E , ( f ) ( f1... f m ) de F
n
On écrit pour j 1, n , u (e j ) ai j fi A (ai j ) Mat( e ),( f ) (u ) [u ]((ef)) Mnn ( )
i 1
( x, y ) E F , X [ x]( e ) , Y [ y ]( e ) y u ( x) Y AX , et A est l'unique matrice
L ( E , F ) Mmn ( )
de Mm n ( ) vérifiant cette équivalence pour tout ( x, y ) E F : (f)
est un isomph
u [u ]( e )
( g ) base de G de dim finie. v L ( F , G) [v u]((eg)) [v](( gf )) [u]((ef))
n n
A Mmn ( ). Le rang de A est celui de ses vecteurs colonne. Si f A , rg( A) rg( f A )
X AX
Si [u ](( ef)) A, rg u rg A || A, B Mmn ( ) 2 rg( A B) rg( A) rg( B)
P GLn ( ), Q GLm ( ) rg( PA) rg( A) rg( AQ) || B M pm ( ), rg( BA) min(rg A,rg B)
III. Matrices inversibles
A Mn ( ). On a équivalence entre : A est inversible A est inversible à gauche/droite
A est régulière à gauche / droite rg A n A représente un isomph
Y Mn1 ( ), le système AX Y possède une unique solution
det A 0 t A est inversible
IV. Changement de bases, équivalence
(e),(e ') bases de E , ( f ),( f ') bases de F
P Mat( e ) (e '), Q Mat( f ) ( f ') matrices de passage. x E , X [ x]( e ) , Y [ y ]( f ) , X ' [ x]( e ') , Y ' [ y ]( f ')
X PX ' Y QY ' Si A [u ](( ef)) , B [u ](( ef ')') , B Q 1 AP
Fiches de maths - MP* - http://evarin.fr/ - 1
Chap 14 : Matrices
A et B Mmn ( )2 sont équivalentes lorsqu'il existe ( R, S ) GLm ( ) GLn ( ) tq : B RAS
C'est une relation d'équivalence. Deux matrices sont équivalentes ssi elles représentent un même
endomorphisme dans 2 bases différentes
1 0
u L ( E , F ) de rang r. Il existe une base (e) de E et une base ( f ) de F tq [u ](( ef)) J mn
r
1
r
0 0
Deux matrices de Mmn ( ) sont équivalentes ssi elles ont le même rang
M Mmn ( ), rg M rg t M
A et B Mn ( ) sont semblables s'il existe P GLn ( ) tq B P1 AP. C'est une relation d'équivalence
Si A est semblable à B, det A det B, tr A tr B et rg A rg B Si f [ X ], f ( B) P 1 f ( A) P
P GLn ( ), A P 1 AP est un automph d'algèbre.
Il y a une infinité de classes de similitudes dans Mn ( )
V. Déterminants
n
A [ai j ]i , j 1,n Mn ( ) det A ( ) a ( j ) j
Sn j 1
A1 p
det A det A
t
det AB det A det B det
det Ak
0 Ap k 1
j
Comatrice : Ci j det
i
, com( A)[(1)i j Ci j ], A t com( A), AA AA det A I n
(I )
Cette identité reste valable dans un anneau commutatif :
si A Mn ( ), A est inversible dans Mn ( ) ssi | det A | 1
(I )
A Mn ( ). Si rg A n 2, A 0 Si rg A n 1, rg A 1
1 1
x1 xn
Van der Monde : VdM ( x1 ...xn )
1i j n
( x j xi ) (Rec, Li Li xn Li 1 )
x1n1 xnn1
...
Chap 14 : Matrices
I. Généralités
corps commutatif, I , J ensembles finis non vides totalement ordonnés.
MI , J ( ) F ( I J , ) est un ev (lorsqu'il est muni des lois naturelles).
Pour A MI , J ( ), A(i, j ) est le coefficient d'indice (i, j ) de A [ai j ](i , j )I J
( Ei j )(i , j )I J de MI J ( ) définie par Ei , j (i, j ) 1 et Ei j (k , l ) 0 (si (k , l ) (i, j )) est une base de MI J ( )
dim MI , J ( ) | I || J | Si I J 1, n , Ei j Ek l j k Ei l
n n
[ X ] Mn ( )
Si P ak X k [ X ] et A Mn ( ), on pose P( A) ak Ak est un mph d'algèbres
k 0 k 1 P P ( A)
II. Matrice d’un endomorphisme
E, F ev de dim n et m, u L ( E, F ), (e) (e1...en ) base de E , ( f ) ( f1... f m ) de F
n
On écrit pour j 1, n , u (e j ) ai j fi A (ai j ) Mat( e ),( f ) (u ) [u ]((ef)) Mnn ( )
i 1
( x, y ) E F , X [ x]( e ) , Y [ y ]( e ) y u ( x) Y AX , et A est l'unique matrice
L ( E , F ) Mmn ( )
de Mm n ( ) vérifiant cette équivalence pour tout ( x, y ) E F : (f)
est un isomph
u [u ]( e )
( g ) base de G de dim finie. v L ( F , G) [v u]((eg)) [v](( gf )) [u]((ef))
n n
A Mmn ( ). Le rang de A est celui de ses vecteurs colonne. Si f A , rg( A) rg( f A )
X AX
Si [u ](( ef)) A, rg u rg A || A, B Mmn ( ) 2 rg( A B) rg( A) rg( B)
P GLn ( ), Q GLm ( ) rg( PA) rg( A) rg( AQ) || B M pm ( ), rg( BA) min(rg A,rg B)
III. Matrices inversibles
A Mn ( ). On a équivalence entre : A est inversible A est inversible à gauche/droite
A est régulière à gauche / droite rg A n A représente un isomph
Y Mn1 ( ), le système AX Y possède une unique solution
det A 0 t A est inversible
IV. Changement de bases, équivalence
(e),(e ') bases de E , ( f ),( f ') bases de F
P Mat( e ) (e '), Q Mat( f ) ( f ') matrices de passage. x E , X [ x]( e ) , Y [ y ]( f ) , X ' [ x]( e ') , Y ' [ y ]( f ')
X PX ' Y QY ' Si A [u ](( ef)) , B [u ](( ef ')') , B Q 1 AP
Fiches de maths - MP* - http://evarin.fr/ - 1
Chap 14 : Matrices
A et B Mmn ( )2 sont équivalentes lorsqu'il existe ( R, S ) GLm ( ) GLn ( ) tq : B RAS
C'est une relation d'équivalence. Deux matrices sont équivalentes ssi elles représentent un même
endomorphisme dans 2 bases différentes
1 0
u L ( E , F ) de rang r. Il existe une base (e) de E et une base ( f ) de F tq [u ](( ef)) J mn
r
1
r
0 0
Deux matrices de Mmn ( ) sont équivalentes ssi elles ont le même rang
M Mmn ( ), rg M rg t M
A et B Mn ( ) sont semblables s'il existe P GLn ( ) tq B P1 AP. C'est une relation d'équivalence
Si A est semblable à B, det A det B, tr A tr B et rg A rg B Si f [ X ], f ( B) P 1 f ( A) P
P GLn ( ), A P 1 AP est un automph d'algèbre.
Il y a une infinité de classes de similitudes dans Mn ( )
V. Déterminants
n
A [ai j ]i , j 1,n Mn ( ) det A ( ) a ( j ) j
Sn j 1
A1 p
det A det A
t
det AB det A det B det
det Ak
0 Ap k 1
j
Comatrice : Ci j det
i
, com( A)[(1)i j Ci j ], A t com( A), AA AA det A I n
(I )
Cette identité reste valable dans un anneau commutatif :
si A Mn ( ), A est inversible dans Mn ( ) ssi | det A | 1
(I )
A Mn ( ). Si rg A n 2, A 0 Si rg A n 1, rg A 1
1 1
x1 xn
Van der Monde : VdM ( x1 ...xn )
1i j n
( x j xi ) (Rec, Li Li xn Li 1 )
x1n1 xnn1
...