Lycée Naval, Spé 2. µdx × ~a = T~ (x + dx, t) − T~ (x, t)
Physique des ondes.
01. Phénomènes de propagation non dispersifs. Équation de d’Alembert. Simplification de l’équation :
Équation de d’Alembert unidimensionnelle ∂2y
? ~a ' 2 ~uy (mouvements verticaux)
∂t
∂2y ∂ T~ (x, t)
µdx × 2 ~uy = dx
∂t ∂x
1 Ondes transversales sur une corde vibrante
→ Projection sur l’axe (Ox) :
1.1 Principe de l’étude ∂Tx (x, t) ∂(T (x, t) cos α) ∂T (x, t)
0= = '
On considère une corde tendue et on s’intéresse aux petits mouvements verticaux ∂x ∂x ∂x
de cette corde en présence d’une perturbation. La norme de la tension ne dépend pas de x ; comme on ne change pas T au cours
uy du temps, on en déduit que T = T0 = cste.
y(x,t) dl
y(x+dx,t) T(x+dx)
T(x) dy → Projection sur l’axe (Oy) :
α(x,t)
y y(x,t) ∂2y ∂Ty
x µ× 2
=
ux ∂t ∂x
x x+dx La tension est tangente à la corde en tout point :
dx
Ty Ty dy ∂y
Hypothèses : ' = donc Ty = T0
T0 Tx dx ∂x
→ La corde de masse linéique µ est souple, c’est à dire qu’elle n’oppose aucune
résistance à sa déformation, la tension est en tout point tangente à la corde. L’équation devient :
∂2y ∂2y
→ La corde est tendue en ses deux extrémités avec une tension suffisante qui µ ' T0
∂t2 ∂x2
permet de négliger l’influence de la pesanteur.
→ On se limite à des mouvements dans le plan xOy et on néglige les phénomènes On obtient l’équation de propagation des ondes transversales sur une corde :
de dissipation.
s
∂ 2 y(x, t) 1 ∂ 2 y(x, t) T0
− 2 = 0 avec c =
→ Les ébranlements sont de faible amplitude : |α(x, t)|  1 rad ; pour la suite, ∂x2 c ∂t2 µ
on se limite à des termes d’ordre 1 en α.
En particulier dx = dl cos α ' dl à l’ordre 1 en α. Cette équation est l’équation de d’Alembert à une dimension.

1.2 Résolution Les ondes se propagent à la célérité c, grandeur qui ne dépend que des caractéris-
tiques du milieu de propagation (ici la tension de la corde et sa masse linéique).
On applique la relation fondamentale de la dynamique à un élément de corde de
longueur dl ' dx au voisinage de l’abscisse x.
Remarque : l’onde étudiée dans cet exemple est une onde transversale, la per-
T~ (x) désigne la force de tension exercée par la partie de la corde située en aval turbation s’effectue dans une direction perpendiculaire à la propagation.
de x sur la partie en amont. En négligeant l’action de la pesanteur, l’équation du Pour une onde longitudinale, la perturbation s’effectue le long de la direction
mouvement de l’élément de corde s’écrit : de propagation (ondes sonores).

1
  
2 Familles de solutions de l’équation de d’Alembert x0 ∆x  x0 
ψ+ (x0 + ∆x, t0 + ∆t) = f t0 + ∆t − − = f t0 − = ψ+ (x0 , t0 )
 
c c c
2.1 Solution générale à condition que : ∆t − (∆x)/c = 0, c’est à dire : c = ∆x/∆t.
→ Un signal de la forme ψ− (x, t) = g(t+x/c) correspond à une onde progressive
Considérons une fonction f (x, t) = f (u) avec u(x, t) = t − x/c et vérifions que
se propageant à la célérité c dans le sens des x décroissants.
cette fonction est solution de l’équation de d’Alembert à une dimension :
  ψ−(x) ψ−(x) ∆x =c ∆ t
∂f df (u) ∂u df (u) −1
? = × = ×
∂x du ∂x du c à t0 à t0 + ∆ t

∂2f 1 d2 f (u) ∂u 1 d2 f (u)
 
∂ 1 df (u)
? = − = − × =
∂x2 ∂x c du c du2 ∂x c2 du2 x x
x0 x0 −∆ x x0
∂2f d2 f (u)
De même : = sens de propagation
∂t2 du2
∂2f 1 ∂2f 1 d2 f (u) 1 d2 f (u) → La solution générale de l’équation de propagation est la somme de deux ondes
On en déduit : − = − = 0. progressives se propageant en sens opposé.
∂x2 c2 ∂t2 c2 du2 c2 du2
On admettra le résultat suivant :
2.3 Ondes progressives harmoniques (ou monochromatiques)
∂2ψ 1 ∂2ψ
Soit ψ(x, t), telle que 2
− ...