Maths Sup. Vars 2020 : corrigé


1 Les fonctions du second degré x 7→ ax2 + bx + c, a 6= 0
Exercice no 1. " #
 2  2  2
2 5 2 5 25 5 25 5 1
1) 2x − 5x + 3 = 2 x − x + 3 = 2 x − − +3=2 x− − +3=2 x− − .
2 4 16 4 8 4 8
2 2
x2 3
   
1 1
1 1 3 9 1 1 3 35
2) − + x + = − x2 − 3x + = − x− + + =− x− + .
4 4 6 4 6 4 2 16 6 4 2 48
3) x2 − 2(cos θ)x + 1 = (x − cos θ)2 − cos2 θ + 1 = (x − cos θ)2 + sin2 θ.
4)
" 2 #
(m + 1)2
 
2 2 m+1 m+1
mx + (m + 1)x − 2m − 1 = m x + x − 2m − 1 = m x + − − 2m − 1
m 2m 4m2
2 2
m2 + 2m + 1 −9m2 − 6m − 1
 
m+1 m+1
=m x+ − − 2m − 1 = m x + +
2m 4m 2m 4m
2
(3m + 1)2

m+1
=m x+ − .
2m 4m

Exercice no 2. Voici les courbes de f1 , f2 et f3 .

C1
4 4
2
3 3
1
2 2
−1 1 2 1 1
−1 C2 C3

−2
−2 −1 1 2 3 −2 −1 1 2
−1 −1
−3

On détermine l’ensemble des sommets des paraboles Pa : y = x(a − x) de la question 5).
a a2
 
Pour a ∈ R, le sommet de la parabole a pour coordonnées , . L’ensemble E des sommets est donc l’ensemble des
2 4
a a2
 
points de coordonnées , , a ∈ R.
2 4
Si M(x, y) est un point de E , alors y = x2 . E est donc contenu dans la parabole P d’équation y = x2 .
a a2
Réciproquement, soit M(x, y) un point de P. Alors y = x2 . Soit a = 2x. a est un réel tel que x = et y = . Donc,
2 4
2
P est contenue dans E et finalement l’ensemble des sommets des paraboles Pa est la parabole d’équation y = x . Voici
quelques courbes Pa et la parabole P.




1
 b
4

3

2 P

b
1
b b
b


−3 −2 −1 1 2
−1

−2

−3




Exercice no 3.
r r
2 2 3 3 3
1) 2(x − 1) − 3 = 0 ⇔ (x − 1) = ⇔ x = 1 + ou x = 1 − .
2 2 2
1 c 1
2) x ′ = 1 est racine. L’autre racine est donc (x ′ x ′′ = = ).
2 a 2
3) x2 = x ⇔ x2 − x = 0 ⇔ x(x − 1) = 0 ⇔ x = 0 ou x = 1.
4) ∆ ′ = 1 − 2 = −1 = i2 . D’où les racines : −1 − i et −1 + i.
5)

x2 − 2 cos θx + 1 = (x − cos θ)2 + sin2 θ = (x − cos θ)2 − (i sin θ)2
= (x − cos θ − i sin θ)(x − cos θ + i sin θ) = (x − eiθ )(x − e−iθ ).

Les solutions sont donc eiθ et e−iθ . De plus, ces solutions sont confondues si et seulement si ∆ ′ = 0, ce qui équivaut
à cos2 θ − 1 = 0 ou encore à − sin2 θ = 0 ou enfin à θ ∈ πZ.
 √ 2 √ √
1 3 1 3
6) ∆ = −3 = i 3 . On en déduit les solutions non réelles et conjuguées : − + i et − − i .
2 2 2 2
7) Si m est non nul, mx2 − (m + 1)x + 1 est bien un trinôme du second degré. 1 est racine de ce trinôme. L’autre est
1
donc . De plus, les solutions sont confondues si et seulement si m = 1.
m
Si m est nul, l’équation s’écrit −x + 1 = 0 et admet 1 pour unique solution.

Exercice no 4.
r r r r
3 3 3 3 3
1) 2(x − 1)2 − 3 < 0 ⇔ (x − 1)2 < ⇔ − <x−1< ⇔1− <x<1+ .
2 2 2 2 2
 
1
2) S = , 1 (−sgn(a) à l’intérieur des racines).
2
3) x2 > x ⇔ x(x − 1) > 0 et S =] − ∞, 0] ∪ [1, +∞[ (sgn(a) à l’extérieur des racines).
4) Pour tout réel x, x2 + 2x + 2 = (x + 1)2 + 1 > 0. Donc, S = R.
5) Pour tout réel x, x2 − 2 cos θx + 1 = (x − cos θ)2 + sin2 θ > 0. Donc, S = R.
1 1
6) Pour tout réel x, 4x2 + 4x + 1 = (2x + 1)2 > 0 avec égalité si et seulement si x = − . Donc, S = − .
2 2
7) — Si m = 0, l’inéquation s’écrit −x > 0. S =] − ∞, 0].
— Si m 6= 0, ∆ = 1 − 4m2 .
 
1
• Si m ∈ , +∞ , ∆ 6 0 et donc, pour tout réel x, mx2 − x + m > 0. S = R.
2 2
  
1
• Si m ∈ −∞, − , ∆ < 0 et donc, pour tout réel x, mx2 − x + m < 0. S = ∅.
2
1 1 1 1 1
• Si m = − , ∆ = 0. mx2 − x + m = − x2 − x − = − (x2 + 2x + 1) = − (x + 1)2 . S = {−1}.
2 2 2 2 2
# √ # " √ "
1 − 1 − 4m2 1 + 1 − 4m2
 
1
• Si m ∈ 0, , S = −∞, ∪ , +∞ .
2 2m 2m
" √ √ #
1 + 1 − 4m2 1 − 1 − 4m...