Chapitre 7
Les fonctions sinus et cosinus



1 Équation trigonométrique


Équations trigonométriques
• L’équation cos x = cos a admet les solutions suivantes sur R :
x = a + k 2π ou x = − a + k 2π avec k ∈ Z

• L’équation sin x = sin a admet les solutions suivantes sur R :
x = a + k 2π ou x = π − a + k 2π avec k ∈ Z



2 Signe des fonctions sinus et cosinus
Sur l’intervalle ] − π; π ], les fonctions sinus et cosinus ont les signes suivants :

π π
x −π − 0 π
2 2
sin x 0 − -1 − 0 + 1 + 0
cos x -1 − 0 + 1 + 0 − -1



3 Propriétés des fonctions sinus et cosinus

Parité
• La fonction sinus est impaire : ∀ x ∈ R, sin(− x ) = − sin x
• La fonction cosinus est paire : ∀ x ∈ R, cos(− x ) = cos x
Périodicité
Les fonctions sinus et cosinus sont 2π périodiques : T = 2π
∀ x ∈ R, sin( x + 2π ) = sin x et cos( x + 2π ) = cos x
De sinus à cosinus
π  π 
sin − x = cos x et cos − x = sin x
2 2




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 CHAPITRE 7. LES FONCTIONS SINUS ET COSINUS


4 Dérivées et limites

Dérivées
Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur R :
sin′ x = cos x et cos′ x = − sin x
Limites
sin x cos x − 1
lim = 1 et lim =0
x →0 x x →0 x


5 Variations et représentations
• Les variations des fonctions sinus et cosinus sont les suivantes :

π π
x −π − π x −π 0 π
2 2
sin′ x = cos′ x =
− 0 + 0 − + 0 −
cos x − sin x
0 1 1
sin x cos x
−1 0 −1 −1

• Les courbes représentatives des fonctions sinus et cosinus sont des sinusoïdes.

Période 2π
1
~u cos x sin x



−3π −π O π 3π 5π
−2π 2 −π 2 2 π 2 2π 2




−1



6 Fonctions sin( ax + b) et cos( ax + b)

Dérivée
Les fonctions sin( ax + b) et cos( ax + b) sont dérivables sur R et

sin′ ( ax + b) = a cos( ax + b) et cos′ ( ax + b) = − a sin( ax + b)
Périodicité
2π
Les fonctions sin( ax + b) et cos( ax + b) sont périodiques
a


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 CHAPITRE 7. LES FONCTIONS SINUS ET COSINUS


7 Application aux ondes progressives
Un son pur est une onde sinusoïdale caractérisée par :
• Sa fréquence F (en Hertz, nombre de pulsations par seconde) qui détermine la hauteur du
son.
• Son amplitude (pression acoustique) P (en Pascal).
1
La fréquence F est relié à la période T de la sinusoïde par la relation : F =
T
La fonction f associée est donc de la forme : f (t) = P sin(2 πF t)
La note de référence (donnée par un diapason) sur laquelle s’accordent les instruments de
l’orchestre est le la3 qui vibre à 440 Hz. Pour une amplitude de 1 Pa, cette note peut être
associé à la fonction f définie par : f (t) = sin(880π t).
L’écran d’un oscilloscope donne alors :

Variation de pression
1.5 (Pa) 1
période T =
F
1.0


0.5



−0.004 −0.003 −0.002 −0.001 O 0.001 0.002 0.003 0.004
−0.5


−1.0




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