Mémo 1ère année





MECANIQUE DU POINT MATERIEL OM = r .ur + z .uz avec r≥0; 0 ≤ ≤ 2 et z ∈  .



dOM •
•
•

v (M ) = = r .ur + r .θ .uθ + z .uz
dt




dv (M ) d 2OM
Cinématique du point matériel γ (M ) = =
dt dt 2
•• •2
• • ••
••


Repérage du point dans le plan : = (r − r .θ ).ur + (2. r .θ + r .θ ).uθ + z .uz
a) Coordonnées cartésiennes
•
•• •2

1 d (r 2 .θ )
••

= (r − r .θ ).ur + ).uθ + z .uz
M'


r dt
y + dy OM = x .ux + y.uy avec (x , y ) ∈  2
M 

y
dOM dx
dy

v (M ) = = .ux + .uy • ••
dt dt dt x x




dv (M ) d OM d 2 x
d 2y

2 • ••
γ (M ) = = = 2 .ux + 2 .uy y y
dt dt 2 dt dt c) Coordonnées sphériques


uy z
z M

x + dx
M
O ux x
r
r θ
θ
b) Coordonnées polaires




ur
M'
ur uϕ m


OM = r .ur avec r≥0 et 0 ≤ ≤ 2 y



O


dOM d (r .ur ) dr
du •

•

O

uϕ

v (M ) = = = .ur + r . r = r .ur + r .θ .uθ uθ uθ
d dt dt dt dt m
Mr 
x ϕ Dans le plan OMm




dv (M ) d 2OM •• •2
• • ••

uy r γ (M ) = = = (r − r .θ ).ur + (2. r .θ + r .θ ).uθ
dθ dt dt 2




OM = r .ur avec r ≥ 0 ; 0 ≤ θ ≤ et 0 ≤ φ ≤ 2π
uθ u 

θ r •
dOM •

•

•




•• •2
1 d (r 2 .θ )
v(t ) = = r .ur + r .θ .uθ + r .sin θ . ϕ .uϕ
= (r − r .θ ).ur + ).uθ dt
O ux r dt


Dynamique du point matériel

Repérage du point dans l’espace :
Notions de forces :
a) Coordonnées cartésiennes a) Interaction gravitationnelle

G.m1 .m 2


M1(m1)
r M2(m2) F1/2 = − .u



u r2
OM = x .ux + y.uy + z .uz avec (x , y , z ) ∈  3
z 


dOM dx
dy
dz

v (M ) = = .ux + .uy + .uz
dt dt dt dt b) Poids




M
dv (M ) d OM d 2x
d 2y
d 2z

2

uz γ (M ) = = = .u x + .uy + 2 .uz
dt dt 2 dt 2 dt 2 dt
G .m .M t
G .m .M t


P =− .u ≈ − .u = m.g
M(m)
r2 Rt 2


O y
u = uz P
ux
où g est un vecteur constant, dirigé vers le centre de la terre. Il
uy
correspond au champ de gravitation de la terre à sa surface.
x
Surface de la terre



c) Force de rappel élastique
b) Coordonnées cylindriques


Mémo 1ère année - MECANIQUE page 1/8 Mémo 1ère année - MECANIQUE page 2/8

Energie du point matériel
ux k, L0 M(m)


Puissance d’une force
F = −k .(L − L0 ).ux


Puissance instantanée de la force F s’exerçant sur le point matériel M animé d’une vitesse v (M , ℜ) dans un
référentiel ℜ :



c) Réaction du support P = F .v (M , ℜ)





Travail d’une force

R = Rn + Rt réaction normale au support Rn ; 







dr dW
Rn réaction tangente au support Rt caractérisant les frottements solides entre Travail élémentaire : dW = F .dr (P = F .v (M ) = F . = )
dt dt
le système et le support. B B


Travail d’une force entre deux points A et B sur la courbe (C) : W = ∫
A(C )
dW = ∫
A(C )
F .dr

Travail du poids W = −m .g.(z B − z A )
Rt
1
Travail de la force élastique W = − .k .(xB2 − x A2 )
d) Poussée d’Archimède 2
La résultante des forces de pression exercée par un fluide au repos sur un corps immergé est égale à
l’opposé du poids du volume de fluide déplacé.
Energie cinétique
On tire alors : 1