Figura 1: Modelo estructural


η=0 η = 1/2 η=1
Despl. de flexi´on, w(η) w(0) = 0, w′ (0) = 0 w(1/2) = w1 w(1) = w2
Rotaci´
on a torsi´ on, θ(η) θ(0) = 0 θ(1/2) = θ1 θ(1) = θ2

Cuadro 1: Restricciones impuestas para la obtenci´
on de los polinomios de interpolaci´
on para w(η) y θ(η)


de libertad movimiento y giro, wj , θj , 1 ≤ j ≤ 2. Estas 4 variables ser´an las inc´ognitas de nuestro sistema y se
organizan en un vector adimensional.
u = {w1 /b, θ1 , w2 /b, θ2 }T (1)
Donde se recuerda que b es la envergadura. Conocido el vector (columna) definido arriba, se puede obtener el
desplazamiento de cualquier punto del ala. El objetivo es pues poner la deformaci´ on continua del eje el´astico
w(η) y θ(η) asociada al elemento finito en funci´on de las magnitudes dentro del vector u, que denominaremos
grados de libertad.

2.1. Las funciones de forma
Las condiciones m´ınimas a la deformaci´ on por flexi´on w(η) (flecha) se muestran en la Tabla 1. Como se
imponen 4 condiciones para la flecha, w(η) podr´a aproximarse por un polinomio de grado 3, que puede escribirse
como
w(η) ≈ a0 + a1 η + a2 η 2 + a3 η 3 (2)
Las 4 condiciones de la Tabla 1 da lugar a un sistema lineal de 4 ecuaciones con 4 inc´ognitas {a0 , a1 , a2 , a3 }
cuya soluci´
on es
a0 = 0 , a1 = 0 , a2 = 8w1 − w2 , a3 = −8w1 + 2w2 (3)
Introduciendo estas expresiones en la Ec. (2) y reordenando

w(η) ≈ 8η 2 − 8η 3 w1 + −η 2 + 2η 3 w2 ≡ Nw1 (η)w1 + Nw2 (η)w2



(4)

Las dos funciones Nw1 (η), Nw2 (η) se denominan funciones de forma pues de alguna forma son cabaces de
transformar la soluci´
on en los nodos en una forma continua. Dado que dichas funciones son conocidas a priori,


3
 1.25

1.
Shape functions




0.75 Nw1 NΘ1

0.5 Nw2
NΘ2
0.25

0.

-0.25
0 0.25 0.5 0.75 1 0 0.25 0.5 0.75 1
Η =yl Η =yl

Figura 2: Left: shape functions associated to the vertical displacements w1 and w2 . Right: shape functions
associated to the twist rotations θ1 and θ2


introducir w(η) en las ecuaciones del movimiento a flexi´on deber´ıa reducir el problema a las dos inc´ognitas
discretas w1 , w2 . Para la funci´on θ(η) el procedimiento es an´alogo, aunque ahora solo se imponen tres condiciones.
Esto conduce a polinomios de interpolaci´ on cuadr´
aticos. Despu´es de algunas operaciones se tiene

θ(η) ≈ 4η − 4η 2 θ1 + 2η 2 − η θ2 ≡ Nθ1 (η)θ1 + Nθ2 (η)θ2



(5)

En la Fig. 2 se muestran las funciones de forma. N´otese que cada una de ellas verifica las condiciones de contorno
impuestas, es decir se trata de soluciones particulares v´
alidas. Adem´
as, Nw1 toma el valor 1 en el nodo 1 y 0 en
el nodo 2. Por otro lado, Nw2 (1) = 1 y Nw2 (1/2) = 0.

2.2. Expresi´
on compacta y notaci´
on matricial
Tal y como se ha vistao arriba, las 4 variables que controlan el estado del sistema se pueden expresar en
t´erminos del vector de grados de libertad (adimensionales)

u = {w1 /b, θ1 , w2 /b, θ2 }T (6)

No en vano en los problemas din´ amicos dicho vector ser´a una funci´on del tiempo, u = u(t). Para obtener
la forma cuadr´
atica que define la energ´ıa de deformaci´on en t´erminos de u es necesario definir w(η) y θ(η)
como funci´on matricial de u. As´ı, se puede demostrar a partir de las Ecs. (4) y (5) que existen dos matrices
dependientes de η, Nw (η) y Nθ (η) (que en realidad son matrices–columna de 4 × 1 elementos), tales que

w(η) = b NTw (η) u , θ(η) = NTθ (η) u

Por ejemplo, el vector columna de interpolaci´
on para los movimientos, Nw (η), se puede deducir como

w(η) = Nw1 (η)w1 + Nw2 (η)w2
 w1 w2 
= b Nw1 (η) + 0 · θ1 + Nw2 (η) + 0 · θ2
b b
T
≡ b Nw (η)u (7)

Una expresi´
on similar a la anterior se obtendr´ıa para la forma compacta de los giros.

θ(η) = Nθ1 (η)θ1 + Nθ2 (η)θ2 ≡ NTθ (η)u (8)

En resumen, las funciones de interpolaci´
on son

 8η 2 − 8η 3
       
 Nw1 (η)    0   0 
4η − 4η 2
 
      
0 0 Nθ1 (η)
      
Nw (η) = = 2 , Nθ (η) = = (9)
 N w2 (η)   −η + 2η 3   0   0 
2η 2 − η
 
    
  
0 0 Nθ2 (η)
     

Funciones que (y esto es importante) est´
an definidas en el intervalo 0 ≤ η ≤ 1.



4
 Como nuestra estructura est´ a formada por dos elementos iguales y sim´etricos, la flecha y el giro en los puntos
del tipo η ∈ [−1, 0] se definen de forma sim´etrica. As´ı, matem´aticamente se puede expresar
( (
bNTw (η) u η ∈ [0, 1] NTθ (η) u η ∈ [0, 1]
w(η) = T
, θ(η) = T
(10)
bNw (−η) u η ∈ [−1, 0] Nθ (−η) u η ∈ [−1, 0]
Esto no se contradice con el hecho de haber definido las funciones de forma en el intervalo [0, 1], pues si
−1 ≤ η ≤ 0 entonces 0 ≤ −η ≤ 1.


3. Matriz de rigidez
Una vez definidos los grados de libertad del sistema y las funciones de interpolaci´ on, ya se puede obtener
la energ´ıa de deformaci´
on de la estructura y a partir de ella, por simple integraci´ on y operaciones matriciales
la matriz de rigidez. Tal y como se ha adelantado, la deformaci´ on del ala se modeliza mediante la flexi´on y la
torsi´
on de una barra recta localizada en el eje el´astico EE del ala cuya posici´on no tiene por qu´e coincidir con el
centro del ala, aunque su direcci´on s´ı es paralela al eje y (ver Fig. 1). Reco...