Figura 3: Distribuci´on de torbellinos discretos y definici´on del ´angulo de ataque r´ıgido αr (y) y el´astico θ(y) en
cada secci´on



Los perfiles centrados en cada torbellino forman las secciones de control donde se forzar´an las igualdades que
dar´
an lugar a la intensidad de los torbellinos. Las coordenadas de las secciones de control son entonces
1
yCj = (yj + yj+1 )
2
De acuerdo a la Fig. 3, los valores {−Γ1 , −∆Γ1 , −∆Γ2 , . . . , −∆Γn−1 , +Γn } son las intensidades de los torbellinos
salientes con sentido +x. Adem´ as, dado que los torbellinos salientes son el resultado de la diferencia entre dos
torbellinos de herradura contiguos se tiene que

∆Γ1 = Γ2 − Γ1 , ∆Γj = Γj+1 − Γj , j = 1, 2, . . . , n − 1 (24)

Trabajaremos en variables adimensionales. Para ello introduciremos
2yCj 2yk Γk cj
ηCj = , ηk = , gk = , fj = (25)
b b bU∞ cm
donde cj es la cuerda en la secci´on j y cm es la cuerda media del ala. En cada perfil ηCj se impone que la
sustentaci´on en el perfil calculado de acuerdo al teorema de Kutta–Joukovsky sea igual a la generada por un
angulo de ataque en el que se considera la velocidad vertical inducida (downwash) por el resto de torbellinos
´
del ala. Tras algunas operaciones ya desarrolladas con detalle, los n torbellinos se pueden obtener en funci´on de


7
los ´angulos de ataque geom´etrico en cada perfil como
2Æ
 
R
− h11 −h12 ··· −h1n
   
 clα f1  g1   α1 
2ÆR
   
−h21 clα f2 − h22 ··· −h2n  g2  α2 
  
  
.. = . (26)
 
. . .. ..
.. ..  .. 
 
 . . 
 . 


 
   
2Æ gn αn
  
R
−hn1 −h22 ··· clα fn − hnn

y en forma m´as compacta
Hg = α (27)
donde hemos definimos los coeficientes hjk como
 
1 1 1
hjk = − − (28)
2π ηCj − ηk ηCj − ηk+1

En el centro de cada panel se tiene que los ´angulos de ataque geom´etricos αj = α(yCj ) (gdl aerodin´ amicos) son
´
funci´on del ´angulo de ataque r´ıgido y del el´astico. Este u
´ltimo, a su vez, depende de los valores de los grados
de libertad estrucutrales, u. De acuerdo a la Ec. (22), se tiene para cada secci´on 1 ≤ j ≤ n que

αj = αr (ycj ) + θ(ycj ) ≡ αrj + NT (ηcj ) u (29)

Poniendo todas las expresiones juntas para 1 ≤ j ≤ n
     
α1  αr1  0 Nθ1 (ηc1 ) 0 Nθ2 (ηc1 )
 

  
   w1 /b 
α2   αr2   0 Nθ1 (ηc2 ) 0 Nθ2 (ηc2 )
    
θ1
    
α= .. = .. + . .. .. .. ≡ αr + Dθ u (30)
 
 .. w 2 /b

 . 
 
 
 .  . . .  
 

θ2
    
αn n×1 αrn n×1 0 Nθ1 (ηcn ) 0 Nθ2 (ηcn )
   
n×4 4×1


Esta expresi´
on vectorial relaciona los gdl aerodin´
amicos α (tama˜
no n) con los estructurales (tama˜
no 4) mediante
la matriz Dθ que llamaremos 1a matriz de acoplamiento.

En la Ec. (30) el vector u es desconocido, mientras que el vector αr es conocido. Buscamos obtener u en
funci´on de αr y para ello deberemos plantear las ecuaciones de equilibrio de Lagrange que incluyen las fuerzas
generalizadas aerodin´ amicas. Las fuerzas generalizadas son por definici´on la variaci´on del trabajo realizado por
las fuerzas exteriores sobre un desplazamiento virtual de los grados de libertad. As´ı, si el sistema se encuentra
en una determinada posici´on definida por u, entonces δW es el trabajo realizado por las fuerzas aerodin´ amicas
al pasar de u → u + δu. Llamando vA (y) al desplazamiento del centro aerodin´ amico cuando los gdl valen u,
entonces el trabajo de la sustentaci´on en una secci´on y es L(y) dy δvA (y), por lo que el trabajo total es
Z b/2
δW = L(y) δvA (y) dy (31)
y=−b/2

Dado que tenemos discretizada la envergadura en n paneles, la integral anterior se puede expresar como un
sumatorio extendido al n´
umero total de paneles
n
X
δW = L(yCj ) ∆yj δvAj ...