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Visibilité Visibility: Archive publique
Shortlink : http://ti-pla.net/a1152480
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Description
Esame di Analisi I
Prof. F. Felici
12 maggio 2017
Soluzioni
Esercizio 1. Studiare la seguente funzione
specificando il dominio, eventuali asintoti (verticali, orizzontali, obliqui), intervalli di
crescenza e di decrescenza, estremi relativi (punti di massimo e minimo), intervalli di
concavità e di convessità e punti di flesso. Disegnare infine un grafico approssimativo
della funzione.
Soluzione. Il dominio della funzione è dato dalle condizioni
Quindi . Osserviamo che la funzione è dispari. Infatti
Determiniamo gli eventuali asintoti. Il bordo del dominio è dato dal punto di ascissa .
quindi in abbiamo un asintoto verticale. Vediamo il comportamento per x che tende
a .
Applichiamo il Teorema di L’Hopital:
Quindi la retta è un asintoto orizzontale.
Calcoliamo la derivata prima:
Risulta che
1) se oppure , quindi la funzione è crescente se
oppure ;
2) se oppure , quindi la funzione è decrescente se
oppure ;
3) per ; a sinistra di la funzione decresce, a destra di la
funzione cresce, quindi in abbiamo un punto di minimo relativo.
Analogamente, in abbiamo un punto di massimo relativo.
Calcoliamo la derivata seconda:
Risulta che
1) se oppure , quindi la funzione è convessa se
oppure ;
2) se oppure , quindi la funzione è concava se
oppure ;
3) per ; in questi due punti vi sono dei cambi di concavità, quindi in
abbiamo due punti di flesso.
Facciamo un grafico qualitativo della funzione. I punti in nero indicano i punti massimo e
di minimo relativo. I punti in rosso indicano i punti di flesso.
y
- -
x
Esercizio 2. Calcolare il seguente integrale definito:
Soluzione. Calcoliamo prima l’integrale definito associato:
Facendo la sostituzione (e quindi otteniamo
Scomponiamo il denominatore: l’equazione ammette le soluzioni e
, quindi . Usiamo ora il metodo delle
costanti indeterminate: cerchiamo A e B numeri reali tali che
Svolgiamo i conti a secondo membro:
Affinché il primo membro dell’uguaglianza precedente sia sempre uguale al secondo
membro, deve accadere che i numeratori ( e e i denominatori
( e ) siano rispettivamente uguali. I denominatori sono
evidentemente uguali. I numeratori sono uguali se i corrispondenti coefficienti sono
uguali, vale a dire se
Risolvendo il sistema lineare otteniamo che
quindi
Dunque
quindi, tornando alla variabile
Per calcolare l’integrale definito, applichiamo ora la formula fondamentale del calcolo:
Domande a risposta chiusa (in grassetto le risposte giuste):
1. Il dominio della funzione è
a. [ , ]
b. [ ,
c. [0 ,4]
d. d. nessuna delle precedenti
2. Sia data la funzione
Allora in
a. possiede una discontinuità di I specie
b. possiede una discontinuità di II specie
c. possiede una discontinuità di III specie
d. nessuna delle precedenti
Infatti
Limite destro e sinistro sono diversi, quindi in vi è una discontinuità di I specie.
3. Il limite
vale
a.
b.
c.
d. nessuna delle precedenti
Infatti
4. Sia : [ , ] una funzione derivabile in tutto l’intervallo tale che .
Allora
a. esiste un punto ∈ [ , ] tale che <0
b. esiste un punto ∈ [ , ] tale che <0
c. esiste un punto ∈ [ , ] tale che <0
d. nessuna delle precedenti
Prof. F. Felici
12 maggio 2017
Soluzioni
Esercizio 1. Studiare la seguente funzione
specificando il dominio, eventuali asintoti (verticali, orizzontali, obliqui), intervalli di
crescenza e di decrescenza, estremi relativi (punti di massimo e minimo), intervalli di
concavità e di convessità e punti di flesso. Disegnare infine un grafico approssimativo
della funzione.
Soluzione. Il dominio della funzione è dato dalle condizioni
Quindi . Osserviamo che la funzione è dispari. Infatti
Determiniamo gli eventuali asintoti. Il bordo del dominio è dato dal punto di ascissa .
quindi in abbiamo un asintoto verticale. Vediamo il comportamento per x che tende
a .
Applichiamo il Teorema di L’Hopital:
Quindi la retta è un asintoto orizzontale.
Calcoliamo la derivata prima:
Risulta che
1) se oppure , quindi la funzione è crescente se
oppure ;
2) se oppure , quindi la funzione è decrescente se
oppure ;
3) per ; a sinistra di la funzione decresce, a destra di la
funzione cresce, quindi in abbiamo un punto di minimo relativo.
Analogamente, in abbiamo un punto di massimo relativo.
Calcoliamo la derivata seconda:
Risulta che
1) se oppure , quindi la funzione è convessa se
oppure ;
2) se oppure , quindi la funzione è concava se
oppure ;
3) per ; in questi due punti vi sono dei cambi di concavità, quindi in
abbiamo due punti di flesso.
Facciamo un grafico qualitativo della funzione. I punti in nero indicano i punti massimo e
di minimo relativo. I punti in rosso indicano i punti di flesso.
y
- -
x
Esercizio 2. Calcolare il seguente integrale definito:
Soluzione. Calcoliamo prima l’integrale definito associato:
Facendo la sostituzione (e quindi otteniamo
Scomponiamo il denominatore: l’equazione ammette le soluzioni e
, quindi . Usiamo ora il metodo delle
costanti indeterminate: cerchiamo A e B numeri reali tali che
Svolgiamo i conti a secondo membro:
Affinché il primo membro dell’uguaglianza precedente sia sempre uguale al secondo
membro, deve accadere che i numeratori ( e e i denominatori
( e ) siano rispettivamente uguali. I denominatori sono
evidentemente uguali. I numeratori sono uguali se i corrispondenti coefficienti sono
uguali, vale a dire se
Risolvendo il sistema lineare otteniamo che
quindi
Dunque
quindi, tornando alla variabile
Per calcolare l’integrale definito, applichiamo ora la formula fondamentale del calcolo:
Domande a risposta chiusa (in grassetto le risposte giuste):
1. Il dominio della funzione è
a. [ , ]
b. [ ,
c. [0 ,4]
d. d. nessuna delle precedenti
2. Sia data la funzione
Allora in
a. possiede una discontinuità di I specie
b. possiede una discontinuità di II specie
c. possiede una discontinuità di III specie
d. nessuna delle precedenti
Infatti
Limite destro e sinistro sono diversi, quindi in vi è una discontinuità di I specie.
3. Il limite
vale
a.
b.
c.
d. nessuna delle precedenti
Infatti
4. Sia : [ , ] una funzione derivabile in tutto l’intervallo tale che .
Allora
a. esiste un punto ∈ [ , ] tale che <0
b. esiste un punto ∈ [ , ] tale che <0
c. esiste un punto ∈ [ , ] tale che <0
d. nessuna delle precedenti