TRIGONOMÉTRIE : FORMULAIRE
Angles associés
Une lecture efficace du cercle trigonométrique permet de retrouver les relations suivantes :
p p
cos æç + x ö÷ = -sin(x) cos æç - x ö÷ = sin(x)
è2 ø p p è2 ø
+x -x
p p
sin æç + x ö÷ = cos(x) sin æç - x ö÷ = cos(x)
2 2
è2 ø è2 ø

cos(p – x) = –cos(x)
p–x x
sin(p – x) = sin(x)


cos(p + x) = –cos(x) cos(–x) = cos(x)
p+x –x
sin(p + x) = –sin(x) sin(–x) = –sin(x)

Relations entre cos, sin et tan
1
cos2(x) + sin2(x) = 1 1 + tan2(x) =
cos 2 ( x)
Formules d'addition
cos(a – b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b) cos(a + b) = cos(a) cos(b) – sin(a) sin(b)
sin(a – b) = sin(a) cos(b) – cos(a) sin(b) sin(a + b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b)
tan(a) - tan(b) tan(a) + tan(b)
tan(a - b) = tan(a + b) =
1 + tan(a ) tan(b) 1 - tan(a) tan(b)

Formules de duplication
2 tan(a)
cos(2a) = cos2(a) – sin2(a) = 2 cos2(a) - 1 = 1 - 2 sin2(a) sin(2a) = 2 sin(a) cos(a) tan(2a) =
1 - tan 2 (a)
3tan( a ) - tan 3 ( a )
Extensions : cos(3a) = 4cos3(a) - 3cos(a) sin(3a) = 3sin(a) - 4sin3(a) tan(3a) =
1- 3tan 2 ( a )
Au delà, utiliser la formule de Moivre.

Formules de linéarisation
1 + cos(2a) 1 - cos(2a) 1 - cos(2a)
cos2(a) = sin2(a) = tan2(a) =
2 2 1 + cos(2a)
cos( 3a ) + 3 cos( a ) - sin(3a ) + 3 sin( a ) - sin(3a ) + 3 sin( a )
Extensions : cos3(a) = sin3(a) = tan3(a) =
4 4 cos(3a ) + 3 cos( a )

Au delà, utiliser les formules d'Euler. Les formules d'Euler permettent également de montrer que :
1 1 1
cos(a) cos(b) = [cos(a - b) + cos(a + b)] cos(a) sin(b) = [sin(a + b) - sin(a - b)] sin(a) sin(b) = [cos(a - b) - cos(a + b)]
2 2 2

æ p+qö æ p-qö æ p+qöæ p-qö
cos(p) + cos(q) = 2 cos ç ÷ cos ç ÷ cos(p) - cos(q) = -2 sin ç ÷ sin ç ÷
è 2 ø è 2 ø èø è 2 ø
2

æ p+qö æ p-qö æ p-qö æ p+qö
sin(p) + sin(q) = 2 sin ç ÷ cos ç ÷ sin(p) - sin(q) = 2 sin ç ÷ cos ç ÷
è 2 ø è 2 ø è 2 ø è 2 ø

Résolution d'équations trigonométriques U
U = p -V V cos(U) = cos(V) Û (U = V [2p] ou U = -V [2p])
V
sin(U) = sin(V) Û (U = V [2p] ou U = p -V [2p])
tan(U) = tan(V) Û U = V [p]

Expression du cosinus, sinus et tangente en fonction de la tangente de l'angle moitié

æaö 1- t2 2t 2t
Si t = tan ç ÷ , on a : cos(a) = ; sin(a) = ; tan(a) =
è2ø 1+ t2 1+ t2 1- t2
Formulaire de trigonométrie Page 1 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/