COURS DE MATHÉMATIQUES - BTS - ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

Mme Azé, florenceaze@gmail.com



1. Équation linéaire du deuxième ordre
1.1. Équation linéaire homogène du deuxième ordre à coefficients constants.
Définition : Une équation différentielle linéaire homogǹe du deuxième ordre à coefficients constants est de la
forme

ay 00 + by 0 + cy = 0
Définition : ar2 + br + c = 0 est appelée équation caractéristique de (H) : ay 00 + by 0 + cy = 0
Théorème 1 : Lorsque l’équation caractéristique a un discriminant positif et deux racines positives r1 et r2 , la
solution générale de ay 00 + by 0 + cy = 0 est

y = Aer1 x + Ber2 x
où A et B sont deux constantes réelles quelconques.
Théorème 2 : Lorsque l’équation caractéristique a un discriminant égal à zéro et une racine double r, la solution
générale de ay 00 + by 0 + cy = 0 est

y = (Ax + B)erx
où A et B sont deux constantes réelles quelconques.
Théorème 3 : Lorsque l’équation caractéristique a un discriminant négatif et deux racines complexes z1 = α+iβ
et z1 = α − iβ, la solution générale de ay 00 + by 0 + cy = 0 est

y = (A cos βx + B sin βx)eαx
où A et B sont deux constantes réelles quelconques.
Remarque : Là aussi, le formulaire donne les mêmes formules avec une notation différente.

Exemple : On veut résoudre (E) : y 00 = −4y 0 − 5y
⇒ y 00 + 4y 0 + 5y = 0
L’équation caractéristique est r2 + 4r + 5 = 0
∆ = 42 − 4 × 1 × 5 = −4
∆ < 0 donc √ il y a deux racines complexes :
−b−i ∆
z1 = 2a = −4−2i
2 = −2 − i
√
z1 = −b+i2a
∆
= −4+2i
2 = −2 + i
La solution générale de (E) est donc : y(x) = (A cos 1x + B sin 1x)e−2x = (A cos x + B sin x)e−2x , où A et B
sont des constantes réelles quelconques.
1.2. Équation linéaire du deuxième ordre avec second membre.

ay 00 + by 0 + cy = f (x)
Théorème : La solution générale de (E) : ay 00 + by 0 + cy = f (x) s’obtient en ajoutant à une solution de cette
équation la solution générale de l’équation homogène associée ay 00 + by 0 + cy = 0.
Remarque : Le théorème est le même que pour le premier degré.

2. Rappels de dérivation
f (x) f 0 (x) f (x) f 0 (x)
1
ln(x) x sin(x) cos(x)
ex ex cos(x) −sin(x)
x (a ∈ R) axa−1
a tan(x) 1 + tan2 (x) = cos12 (x)