TSI2 2020-2021 C. Bonnand 1




Rappels sur les équations différentielles du deuxième ordre

Il s’agit d’équations différentielles qui s’écrivent sous forme canonique

d2 z ω0 dz d2 z dz
+ + ω02 z = α ou + 2λ + ω02 z = α
dt2 Q dt dt2 dt

avec les conditions initiales z(t = 0) = z0 et ż(t = 0) = ż0 .

Dans le cas des oscillateurs, ω0 s’interprète comme la pulsation propre et Q comme le facteur de qualité.

La solution s’écrit:
z(t) = zs (t) + zp (t)
où zs (t) est la solution de l’équation différentielle sans second membre et zp (t) est une solution particu-
lière : zp (t) = α/ω02 (le second membre étant indépendant du temps, on cherche une solution particulière
indépendante du temps).

On cherche des solutions de l’équation différentielle sans second membre sous la forme z(t) ∝ ert ,
ce qui conduit à l’équation caractéristique
ω0 1
 
2
r + r + ω02 = 0 de discriminant ∆= ω02 −4 .
Q Q2
Selon le signe de ∆, la nature des solutions est différente :
• ∆ > 0 ce qui est équivalent à Q < 1/2: les racines de l’équation caractéristique sont réelles.
Dans le cas des oscillateurs en physique, on dit que le régime est apériodique
ω0 √
− ± ∆ s
Q ω0 1
r± = =− ± ω0 − 1.
2 2Q 4Q2
On démontre que zs (t) s’écrit sous la forme d’une combinaison linéaire de deux exponentielles
décroissantes:
zs (t) = Aer+ t + Ber− t


z0




z(t)




0 1 2 4 5 6 8 10 15
t/τ
2 Révisions: équations différentielles d’ordre 2



Le temps caractéristique augmente lorsque Q augmente.


• ∆ = 0 ce qui est équivalent à Q = 1/2 : l’équation caractéristique n’admet qu’une seule racine
double
ω0
r=− = −ω0
2Q
Dans le cas des oscillateurs en physique, on dit que le régime est critique : il s’agit de la frontière
entre le régime apériodique (décroissance exponentielle pure) et le régime pseudo-périodique
(décroissance exponentielle avec des oscillations). On démontre mathématiquement que la so-
lution de l’équation différentielle est de la forme

zs (t) = [A + Bt] e−ω0 t

A et B étant deux constantes déterminées par les conditions initiales appliquées à la solution
complète z = zs + zp .

z0




z(t)




0 1 2 4 5 6 8 10
t/τ


• ∆ < 0 ce qui est équivalent à Q > 1/2 : les racines de l’équation caractéristique sont complexes.
Dans le cas des oscillateurs en physique, on dit que le régime est pseudo-périodique car l’amplitude
des oscillations diminue au cours du temps.
s
1 ω0 1 1
 
∆ = −ω02 4− 2 → r± = − ± jω0 1 − 2
= − ± jΩ (j 2 = −1)
Q 2Q 4Q τ
s
1 2Q
avec Ω = ω0 1 − 2
la pseudo-pulsation des oscillations et τ = le temps caractéristique
4Q ω0
de décroissance des oscillations.

On démontre mathématiquement que la solution de l’équation différentielle est de la forme


zs (t) = e−t/τ [A cos(Ωt) + B sin(Ωt)] ou zs (t) = Ce−t/τ cos(Ωt + ϕ)
avec A, B, C et ϕ des constantes réelles.
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Les différentes constantes sont toujours déterminées par les conditions initiales appliquées à la
solution complète z = zs + zp .

Le choix de la forme mathématique de zs (t) est souvent guidé par le problème physique que l’on
étudie.

z0




z(t)




0




0 1 2 4 5 6 8 10 15
t/τ

Remarque: Si le coefficient devant le terme du premier ordre est négatif, au lieu d’être amorties, les
oscillations sont amplifiées. Pour une équation du type:

d2 z dz
2
− 2λ + ω02 z = 0
dt dt
avec λ > 0, si ∆ < 0, les solutions seront du type:

zs (t) = e+λt [A cos(Ωt) + B sin(Ωt)]