Cours de mathématiques Séries entières MP* 2020 – 21



Séries entières

Plan
Séries entières, rayon de convergence.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Série entière d’une var. réelle, propriété de la somme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Fonctions dévelop. en série entière.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Formulaire récapitulatif. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Des contre-exemples étonnants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Rappels sur les séries génératrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
résultat classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
S0 (z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Dérivée complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Le lemme radial d’Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Applications aux fonctions matricielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Principe des zéros isolés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Logarithme complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Inverse d’une fonction DSE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Principe du maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Analyticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21



Séries entières, rayon de convergence.
Définition
X X
Soit (an )n∈N une suite à valeurs dans C. On appelle série entière an z n la série de fonctions un où un : C → C,
n∈N n∈N
X
z 7→ an z n (à chaque z ∈ C, on étudie la série an z n ).
n∈N



Définition et th. – opérations algébriques sur les séries entières
X X X
• On appelle somme des séries entières an z n et bn z n la série entière (an + bn ) z n .
n∈N n∈N n∈N
X X
• On appelle produit de la série entière an z n par le scalaire λ ∈ K la série entière λan z n .
n∈N n∈N
X X X
• On appelle produit des séries entières an z et
n
bn z la série entière
n
cn z où
n

n∈N n∈N n∈N

X n
X
∀n ∈ N, cn = ap bq = ak bn−k
p+q=n k=0

Il correspond au produit de Cauchy des séries numériques

La lemme fondamental suivant permet de mieux cerner quel est l’ensemble de définition d’une fonction définie par une série
entière.
Lemme d’Abel S’il existe un nombre réel r > 0 tel que la suite (an rn )n∈N soit bornée, alors pour tout nombre complexe
z tel que |z| < r,  n 
n |z|
|an z | = O
n→+∞ r
X
en particulier, an z n est absolument convergente.
n∈N

 n
|z|
Dém. : (du lemme) |an z n | = |an rn | × . 
| {z } r
bornée



1/22 M. Rezzouk
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Théorème pour le calcul du rayon de convergence
On déduit du lemme d’Abel que les ensembles suivants
( )
X
r ∈ R+ | an rn absolument convergente
n∈N
( )
X
n
⊂ r ∈ R+ | an r converge
n∈N
 
⊂ r ∈ R+ | lim an rn = 0
n→+∞

⊂ r ∈ R+ | (an rn )n∈N bornée .



sont tous des intervalles de R+ commençant à 0 et de même borne supérieure (éventuellement +∞).

Dém. : On montre facilement que
  ??...