Lycée Naval, Spé 2. Un apport important de Maxwell a été l’introduction du courant de déplace-
Électromagnétisme. ment qu’aucune expérience n’avait alors identifié :
05. Électromagnétisme dans l’ARQS ~
~jD = ε0 ∂ E
Électromagnétisme dans l’ARQS ∂t
Pour s’en convaincre, on considère la divergence de l’équation de Maxwell-
Dans les précédents chapitres, nous avons successivement étudié le champ élec- Ampère :
trique et le champ magnétique en régime stationnaire. Nous poursuivons l’étude !
en élargissant aux régimes « lentement » variables (ARQS).
−→  ∂div E~ 
∂ρ

~ ~
div rotB = µ0 divj + ε0 ~
= µ0 divj +
∂t ∂t
1 Les équations de Maxwell
| {z }
=0
On retrouve alors l’équation de conservation de la charge.
1.1 Formulation générale
Le terme de courant de déplacement permet d’assurer la compatibilité des équa-
Dans le cas le plus général, les équations de Maxwell se présentent sous la forme tions de Maxwell avec l’équation locale de conservation de la charge électrique.
suivante :
→ Équation de Maxwell-Gauss : divE ~ = ρ Ce courant de déplacement prédit l’existence des ondes électromagnétiques qui
ε0 seront mises en évidence par Heinrich Hertz une vingtaine d’années plus tard.
Cette équation indique comment une charge volumique crée un champ électrique.
Dans sa version intégrale, elle prend la forme du théorème de Gauss.
2 L’Approximation des Régimes Quasi-Stationnaires
~ =0
→ Équation de Maxwell-Thomson : divB
Cette équation indique que le champ magnétique est à flux conservatif. 2.1 Domaine de validité

−→ ~ ~
∂B L’approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS) consiste à négliger τ la
→ Équation de Maxwell-Faraday : rotE =− durée de propagation du signal vis à vis de T le temps caractéristique d’évolution
∂t
Cette équation indique qu’un champ magnétique variable est source d’un champ des grandeurs physiques.
électrique, c’est le phénomène d’induction. 2
f (t) τ
!
−→ ~ ∂ ~
E
→ Équation de Maxwell-Ampère : rotB = µ0 ~j + ε0 T
∂t 1
Cette équation indique que les sources du champ magnétique sont les courants
électriques et les champs électriques variables. En régime stationnaire, on retrouve t
le théorème d’Ampère. Plus généralement, on peut écrire un théorème d’Ampère 1 2 3 4 5 6
généralisé :
I ZZ ZZ ~
~ ~l = µ0
B.d ~+ 1
~j.dS ∂E ~
.dS −1
c2
C Σ Σ ∂t signal en P
signal en M
1.2 Courant de déplacement et loi de conservation de la charge −2
Vers 1865, James Maxwell a unifié les travaux de ses prédécesseurs pour écrire les ? Considérons deux points P et M distants de L ; le signal, de célérité c, se propage
équations qui portent son nom. de P à M en une durée τ = L/c ; pour un phénomène sinusoïdal, λ = c × T ,

1
l’approximation des régimes quasi-stationnaires conduit à : ? Circulation du champ électrique :
τ T donc λL Par rapport au cas des régimes stationnaires, l’équation de Maxwell-Faraday est
modifiée. Évaluons la circulation du champ électrique sur un contour C supposé
L’ARQS s’applique pour des circuits dont la taille est faible vis à vis
fixe en utilisant le théorème de Stokes :
de la longueur d’onde du signal. Ainsi, en électrocinétique, on considère
que l’intensité du courant est la même en tout point d’un fil, négligeant en cela le dS
temps de propagation. Σ

Le tableau suivant montre que l’ARQS est une approximation tout à fait légitime
dl
en électronique.
I ZZ ZCZ ~ Z Z 
fréquence ν (Hz) période T = 1/ν (s) longueur d’onde λ = c × T (m) ~ ~l = −→ ~ ~ ∂B ~=−d ~ S ~
E.d rotE.dS = − .dS B.d
50 2 × 10−2 6 × 106 C Σ Σ ∂t dt Σ
105 10−5 3 × 103 La circulation du champ électrique sur un contour fermé est égale à l’opposé
de la dérivée du flux du champ magnétique à travers toute surface orientée
2.2 ARQS et équations de Maxwell
conforme et s’appuyant
I sur ce contour : ZZ
Équations de Maxwell en ARQS ~
~ l=− dΦ ~ S ~
E.d avec Φ = B.d
...