Lycée Naval, Spé 2. allant de la gauche vers la droite, le différentiel de concentration suffit donc à faire
Phénomènes de transport. 03. Diffusion de particules. migrer les particules vers les zones dépeuplées.
Diffusion de particules

1 Approche qualitative de la diffusion 2 Étude macroscopique de la diffusion

1.1 Présentation et définition 2.1 Vecteur densité volumique de courant de particules

Expérience : ouvrons une bouteille de parfum dans une pièce. Une odeur agréable
jN jN
se répand progressivement dans la pièce. dS
Σ
Interprétation : les molécules de parfum se dispersent dans l’air, des zones de forte
dS
concentration en parfum (flacon) vers les zones de faible concentration en parfum
(extrémités de la pièce). Le phénomène se produit en l’absence de courant d’air. ~ et δN le nombre de particules
Soit une surface élémentaire de vecteur surface dS,
La diffusion apparaît comme un phénomène de transport de particules sans mou- qui traverse cette surface pendant dt. On appelle, vecteur densité volumique
vement macroscopique du milieu. de courant de particules, noté ~jN , le vecteur défini par :
~
δN = ~jN .dSdt
1.2 Propriétés Dans le système international d’unités, le vecteur courant s’exprime en m−2 · s−1 ,
? La diffusion se produit, dans un milieu inhomogène, des régions riches en parti- il représente le nombre de particules qui traverse une section par unité de surface
cules vers les régions pauvres en particules. et de temps.
? La diffusion tend à homogénéiser la répartition des particules dans le milieu. δN ~ représente le flux élémentaire de particules à travers dS,
~ par
δΦ = = ~jN .dS
? Le phénomène de transport par convection, (courant d’air dans une pièce, dt
agitation dans un bécher), beaucoup plus rapide, masque souvent le phénomène intégration, on obtient le débit de particules Φ, flux du vecteur ~jN à travers la
de diffusion dans les gaz ou les liquides. surface orientée Σ : ZZ
Φ= ~
~jN .dS
Σ
1.3 Interprétation microscopique
concentration 2.2 Loi phénoménologique de Fick
des particules
milieu La loi de Fick rend compte du phénomène de diffusion en reliant le vecteur
diffusion
particule densité de courant de particules au gradient de concentration selon la loi :
~jN = −D × − −→
gradn
D, appelé coefficient de diffusion, s’exprime en m2 · s−1 .
n est la densité particulaire (nombre de particules par unité de volume)
bilan macroscopique
Remarques :
À l’échelle microscopique les particules se déplacent aléatoirement dans toutes les
directions sous l’effet de l’agitation thermique. Si la concentration de particules ? Cette loi est une loi phénoménologique car, si elle rend compte du phénomène
est plus élevée à gauche, il y a plus de particules qui traversent la frontière en de diffusion, elle n’est pas universelle.

1
? Le coefficient D est toujours positif, le signe « - » dans la formule assure que la n(x, t + dt)Sdx = n(x, t)Sdx + Φ(x, t)dt − Φ(x + dx, t)dt + σSdxdt
diffusion s’effectue vers les zones de faible densité particulaire. ∂Φ
[n(x, t + dt) − n(x, t)] Sdx = − dtdx + σdxSdt
? Le coefficient D dépend du milieu ("fluide support") et des particules diffusantes ∂x
("fluide diffusant"). ∂jN (x, t)
[n(x, t + dt) − n(x, t)] Sdx = − Sdxdt + σdxSdt
Phase Gaz Liquide Solide ∂x
"Fluide support" air eau cuivre ∂n ∂jN
dtdx = − dxdt + σdxdt
"Fluide diffusant" H2 H2 aluminium ∂t ∂x
D en m2 · s−1 7 × 10−5 5 × 10−9 1, 3 × 10−30 ∂n ∂jN
Équation locale de bilan de particules à 1D : + =σ
∂t ∂x
? La loi de Fick est à rapprocher de la loi d’Ohm locale et de la loi de Fourier. Cette équation est une loi universelle traduisant le bilan de particules. Elle est à
rapprocher de l’équation de conservation de la charge, et de l’équation de diffusion
2.3 Bilan de particules thermique. En présence d’un terme source, le second membre est non nul.

Cas unidirectionnel (géométrie cartésienne)
Généralisation
Il est important de comprendre que l’on réalise le bilan pour un type donné de
particules : des électrons, des molécules de dioxygène, des ions cuivre (II),. . . Dans le cas général, il faut prendre en compte la variation possible des composantes
du vecteur courant selon les trois directions de l’espace ; on en déduit l’équation
locale de bilan de particules :
jN (x) jN (x+dx)
S ∂n
+ div~jN = σ
∂t
x x+dx
Considérons le volume fixe situé entre les abscisses x et x + dx et appelons n(x, t),
...