e(t) s(t)
Lycée Naval, Spé 2.
Électronique. 01. Stabilité des systèmes linéaires.
Stabilité des systèmes linéaires t t
t0 t0
e’(t) s’(t)
1 Système linéaire invariant
τ τ
1.1 Définitions t t
t0 t0
Opérateur
Le système physique sera considéré comme un opérateur qui, à un signal d’en-
trée e(t), associe un signal de sortie s(t). 1.2 Système régi par une équation différentielle
e(t) s(t) Un système linéaire permanent sera caractérisé par une équation différentielle
opérateur de la forme :
m n
X dk s(t) X di e(t)
b0 s(t) + bk = a 0 e(t) + ai
Représentation schématique d’un opérateur dtk dti
k=1 i=1
Exemple : pont diviseur de tension où les coefficients ai et bk sont des constantes.
R1
Remarques :
? Une telle équation différentielle linéaire à coefficients constants assure les ca-
e(t) R2 s(t)
e(t) s(t) x ractères linéaire et invariant du système.
R2 R1+R2 ? Il existe des opérateurs linéaires qui ne sont pas régis par ce type d’équation,
on peut citer l’opérateur « retard » tel que ∀t, s(t) = e(t − τ ).
Remarque : un signal représente toute grandeur physique mesurable.
Exemple :
Considérons la réponse en tension aux bornes du condensateur pour un circuit
Linéarité
RLC série soumis à un échelon de tension E :
On appelle e1 (t) et e2 (t) deux signaux d’entrée et s1 (t) et s2 (t) les signaux de d2 uc ω0 duc
∀t > 0 + + ω02 uc = ω02 E
sortie associés. Le système S est linéaire si, pour une excitation ae1 (t) + be2 (t), dt2 Q dt
la réponse s’écrit as1 (t) + bs2 (t).
e1
op. lin.
s1 2 Réponse fréquentielle et fonction de transfert
ae1+be2 as 1+bs 2
op. lin.
e2 s2 2.1 Rappels sur le régime sinusoïdal forcé
op. lin.
Caractère invariant On considère un signal d’entrée sinusoïdal de la forme :
e(t) = E cos (ωt + ϕe )
Un système est dit invariant (ou permanent) si ses caractéristiques ne varient auquel on associe la représentation complexe : e(t) = Eej(ωt+ϕe ) = Eejωt
pas au cours du temps. Une translation dans le temps sur le signal d’entrée se
traduit par une translation identique sur le signal de sortie. Pour un système linéaire, en régime forcé, le signal de sortie est un signal
sinusoïdal, de même pulsation que le signal d’entrée, de la forme :

1
 n n
s(t) = S cos (ωt + ϕs ) X X
ai (jω)i ai × p i
auquel on associe la représentation complexe : s(t) = Sej(ωt+ϕe ) = Sejωt s
H(jω) = = i=0
m ou H(p) = i=0
m
Remarques : e X X
? Le caractère linéaire et les coefficients réels de l’équation différentielle assurent bk (jω)k bk × pk
k=0 k=0
l’équivalence de l’étude en représentation complexe ou réelle.
? La solution générale s(t) est la somme de deux termes : la solution du régime
transitoire (solution générale sans second membre) et la solution forcée (solution opérationnel ↔ fréquentiel ↔ temporel
particulière avec second membre). d
? On suppose pour l’instant que le régime transitoire s’atténue rapidement laissant p ↔ jω ↔
dt
la place à la solution associée au régime forcé. Cet aspect sera approfondi dans le d2
paragraphe "stabilité" de ce chapitre. p2 ↔ (jω)2 = −ω 2 ↔
dt2
Exemple :
2.2 Fonction de transfert R
i
En régime sinusoïdal forcé, on définit la fonction de transfert (ou transmittance)
selon : e(t) C s(t)
s S
H(jω) = =
e E
ou de façon équivalent avec p = jω, imaginaire pur : ds(t) 1
S(p) e(t) = s(t) + τ ↔ ...