Préparation à l’Agrégation Interne de Sciences Physiques
Electromagnétisme dans le vide
Correction de la séance du 22 octobre 2020




1 Rappel sur les équations de Maxwell
1. - Pour des charges différentes qi ayant chacune la vitesse ~vi
1 ř
Densité volumique de charge : ρ “ qi dans un petit volume ∆V
∆V i
1 ř
Densité de courant : J~ “ pqi~vi q
∆V i
1 ř
- Si toutes les charges ont la même vitesse ~v , J~ “ p qi q~v “ ρ~v
∆V i
- Si n types de charges de vitesse ~vn et de densité ρn , J~ “ pρn~vn q
ř
n

L’intensité I à travers une surface S orientée est le flux de J~ à travers S : I = ~ “
J~ ¨ dS J~ ¨~ndS
ť ť


~ “ 1
~ ¨ dS Q
ů ţ
2. Théorème de Gauss sous forme intégrale : S
E V
ρdV “ , Q charge totale
ε0 0
contenue dans le volume V limité par la surface fermée S.
~ “
~ ¨ dS ~
ů ţ
En utilisant le théorème de Green-Ostrogradski S X V
divpXqdV , et en identifiant les
éléments de l’intégrale triple (la relation intégrale est vraie quel que soit le volume d’intégration
V ), on obtient la forme locale du théorème de Gauss :
div E~ “ ρ
0
3. L’intensité qui traverse une surface fermée S limitant un volume V est égale, au signe près, à la
dérivée par rapport au temps de la charge totale Q contenue dans V .

I “ S J~ ¨ dS ~ “ ´ δQ “ ´ 1 δp
ů ţ
V
ρdV q Le volume V étant fixe, on fait entrer la dérivée par
δt δt
rapport au temps dans l’intégrale
ţ Bρ
~ “´
~ ¨ dS
ů
S
J V
dV
Bt
(on prend la dérivée partielle de ρ par rapport au temps, car ρ dépend aussi des coordonnées
d’espace en toute généralité)
En appliquant Green-Ostrogradski, et en identifiant les éléments d’intégration, on trouve l’expression
locale de la conservation de la charge :
Bρ
div J~ ` “0
Bt
4. La divergence du champ magnétique est nulle : ceci est lié au fait qu’il n’existe pas de charge
~ En appliquant
magnétique isolée (sinon on aurait l’équivalent du théorème de Gauss pour B).
Green-Ostrogradski :
~ “
~ ¨ dS ~
ů ţ
S
B pdiv BqdV
V
“0
 ~ “ µ0 I (en régime permanent).
~ dl
ű
5. Théorème d’Ampère le long d’un circuit fermé orienté (C) : C B¨
~ “ rot
~ ¨ dl ~ avec X
~ ¨ dS ~ “ B.
~ Comme I “ J~ ¨ dS, ~ par
ű ť ť
On utilise le théorème de Stokes C X ~ X
identification :
~ B
rot ~ “ µ0 J~ qui est la forme locale du théorème d’Ampère.

6. Loi de Lenz-Faraday
~ “ ´ dφ “ ´ d
~ ¨ dl ~ (valable si B
~ ¨ dS ~ varie ou si le
ű ť
fem le long d’un circuit fermé e “ E
C
B
dt dt S
circuit change de forme au cours du temps).
Pour un circuit indéformable, en appliquant le théorème de Stokes à la circulation de E~ ñ
~
~ E
rot ~ “ ´ BB
Bt
7. Courant de déplacement ; équation de Maxwell-Ampère

Theorème d’Ampère appliqué à la surface (S1 )
s’appuyant sur le contour (C) :
~ “ µ0 I
~ ¨ dl
ű
C
B
Même chose appliqué à (S2 ) :
~ “ 0 ñ contradiction.
~ ¨ dl
ű
C
B
En régime variable, il faut ajouter un terme
supplémentaire à l’énoncé du théorème d’Ampère. Ce
BQ
terme doit être égal à µ0 I “ µ0 où Q est la charge
Bt
du condensateur.



Cas d’un condensateur plan : Q “ CV “ ε0 SE (S surface des armatures)
BQ ť BE ~
ñ “ ε0 S2 ~
¨ dS
Bt Bt
Dans ce cas particulier le théorème d’Ampère doit être modifié de la façon suivante :
ť BE ~
~ “ µ0
~ ¨ dl ~ ` µ 0 ε0
~ ¨ dS ~
ű ů
C
B S2
J S2
¨ dS
Bt
On peut montrer que cette équation intégrale est généralisable à toute situation, d’où l’équation
locale dite de Maxwell-Ampère :
~
~ B
rot ~ “ µ0 J~ ` µ0 ε0 B E
Bt

2 Ondes électromagnétiques dans le vide
1. Voir ci-dessus ; dans le vide : ρ “ 0 ; J~ “ ~0
2. En combinant les équations :
~ ~ 2~
~ rot
rotp ~ “ ´ B rotB “ ´µ0 ε0 B E
~ Eq
Bt Bt2

Page 2
 ~
Comme ∆ (Laplacien) = gradpdivq´ ~ rotq
rotp ~ “ 0 dans le vide, l’équation de propagation
~ et div E
pour E~ s’écrit :
2~
∆E~ ´ µ 0 ε0 B E “ 0 (1)
Bt2
De la même façon, pour B ~ :
2~
∆B~ ´ µ 0 ε0 B B “ 0 (2)
Bt2
Liens entre E ~ et B
~ :
~
~ B
rot ~ “ µ 0 ε0 B E (3)
Bt
~
~ E
rot ~ “ ´ BB (4)
Bt
3. On vérifie que E ~ “ E0 cospωt´kxq~ey est solution de l’équation (1), si la relation dite de dispersion
est satisfaite :
ω 1
“?
k µ 0 ε0
1
c“ ? est la vitesse de propagation des ondes électromagnétiques dans le vide.
µ 0 ε0
ω
L’onde se propage dans la direction des x positifs, le vecteur d’onde est ~k “ k~ex , avec k “ .
c




4. De l’équation (4) on déduit :
BB~
´ ~ E
...