2 Dynamique du point matériel.

2.1 Masse et quantité de mouvement :
Masse : quantité de matière en kg
On définit le vecteur quantité de mouvement dans un référentiel R par :
 
P/ ℜ ( M ) = m.v/ ℜ ( M )

P/ ℜ ( M ) en kg.m.s-1


2.2 1ère loi de Newton ou Principe de l’inertie :

Enoncé :
Par rapport à tout référentiel privilégié R, qualifié de Galiléen, tout
point matériel isolé a un mouvement rectiligne uniforme ou est
immobile.


Définitions :
Système isolé : aucune action sur le système (point matériel)
24
Système pseudo-isolé : Système pour lequel la résultante des forces
appliquées est nulle (les différentes actions se compensent)

Exemple : Un palet sur une table à coussins d’air
(pas de frottement) est un système pseudo-isolé
car les actions qu’il subit se compensent :
  
P + R = 0.

Sytème Pseuso-isolé




Question : La Terre peut-elle être considérée comme un référentiel
Galiléen ?
Non dans l’absolu, car elle tourne sur elle-même et autour du soleil.
Cependant, on pourra considérer la Terre comme un référentiel
Galiléen, pour la plus part des expériences de courtes durées (par
rapport à la période de rotation de la Terre sur elle-même) et donc le
mouvement de rotation de celle-ci.



25
Dans un référentiel non Galiléen les corps sont soumis à des forces
supplémentaires dites : forces d’inertie.
Ex : Sur un manège en rotation nous ressentons une force centruge
(vers l’extérieur)
Dans un véhicule qui accélère nous sentons plaqué contre le siège.

Dans un référentiel Galiléen nous ne ressentons aucun effet dû au
mouvement rectiligne uniforme du référentiel Galiléen.

Quelques référentiels utilisés en mécanique :
Etoile fixe Etoile fixe Etoile fixe




Terre Soleil G = centre de
gravité du
système solaire


Référentiel Référentiel Référentiel de
géocentrique héliocentrique Copernic


26
 2.3 2ème loi de Newton ou Relation fondamentale de la dynamique :

Notre système étudié est le point matériel de masse m.
Nous travaillons dans un référentiel Galiléen RG

La résultante des forces appliquées au point matériel M est notée : R

Relation fondamentale de la dynamique :
Dans un référentiel Galiléen RG, on peut écrire :

 
  dP( M )   dv ( M ) 
R =   =  m 
 dt ℜ G  dt ℜ G
Ou :
 
R = m.a ( M )ℜ G


La masse m qui apparaît dans cette la relation fondamentale de la
dynamique est appelée masse inertielle.
Cette loi nous indique qu’il est difficile de modifier le mouvement d’un
corps de masse importante.(inertie en mécanique classique)
27
Remarque : soit RG Galiléen. Si RG1 est en mouvement de translation
rectiligne uniforme par rapport à RG, alors RG1 est aussi un référentiel
Galiléen.
 
a ( M ) ℜ G1 = a ( M ) ℜ G
on peut écrire :
  
R = ma ( M ) ℜG = ma ( M ) ℜG1


C’est le principe de relativité : toutes les lois de la physique sont
invariantes par changement de référentiel Galiléen.

2.4 3ème loi de Newton ou Principe action et de la réaction :

Soit deux points A et B matériels en interaction. FA/B
B
Le vecteur force exercé par B/A est opposé au
vecteur force exercé par A/B.
FB/A
  A
FB = − FA
A B



28
Remarque : ce principe n’est pas général, il est valable seulement dans le
cadre de la mécanique classique.

2.5 Comment exprimer le 2ème loi de Newton dans un référentiel non
Galiléen ?

Soit RGal un référentiel Galiléen et RN Gal un référentiel non Galiléen.

On peut écrire dans RGal :
 
R = ma ( M )ℜ Gal
en utilisant la composition des accélérations :

   
a ( M )ℜ Gal = a ( M )ℜ N Gal + ae ( M ) + ac ( M )
ce qui donne :
   
R = ma ( M )ℜ N Gal + mae ( M ) + mac ( M )


que nous pouvons écrire :
   
R − mae ( M ) − mac ( M ) = ma ( M )ℜ N Gal


29
Nous voyons apparaître des termes supplémentaires qui sont appelés
forces d’inerte.

− mae (M ) : force d’inertie d’entraînement du point M

− mac (M ) : force d’inertie de Coriolis.

Ce sont ces forces d’inertie que nous ressentons dans un référentiel
Galiléen.
Si on applique la relation fondamentale de la dynamique dans un
référentiel non Galiléen il faut rajouter les forces d’inertie.




30
 2.6 Moment cinétique

On considère un point matériel M de masse m ayant un vecteur vitesse

v (M ) par rapport au référentiel R.

2.6.1 Vecteur moment cinétique du point
V
M par rapport à un point O dans un référentiel R.
OM
M
On le définit par l’expression vectorielle
O
suivante :

  
L/ O ( M ) = mOM ∧ v ( M )
L/O(M)
v(M)
Le vecteur moment cinétique du point M par
rapport au point O est un vecteur perpendiculaire à O OM
 
OM et à v (M ) .




31
Les composantes du vecteur moment cinétique s’obtiennent en faisant le
produit vectoriel

 x v   yv z − zv y 
     x   Permutions
m.OM ∧ v ( M ) = m. y  ∧  v y  = m. zv x − xv z 
circulaires
 z v   xv − yv 
   z  y x


  
Norme : L/ O ( M ) = m. OM . v ( M ) . sin(α )


d M
α
r vM
O

  
On retiendra : L/ O ( M ) = md v ( M ) avec d = OM sin(α ) . Unité : kg.m².s-1




32
 2.6.2 Moment cinétique par rapport à un axe ∆ :

On considère un axe de rotation ∆ passant par O et orienté par un

vecteur unitaire e . Le sens positif de rotation est donné par la règle du
« tire-bouchon ». Quand on tourne dans le sens positif le tire-bouchon

se déplace dans le sens de e .
∆


O e vecteur
unitaire
+
sens positif



Le moment cinétique du point M par rapport à l’axe ∆ est défini par le
produit scalaire :
 
L/ ∆ ( M ) = L/ O ( M ).e


c’est une grandeur scalaire :
33
 • L/ ∆ ( M ) > 0 si rotation dans le sens positif
• L/ ∆ ( M ) < 0 si rotation dans le sens négatif

• Exemple de calcul de moment cinétique dans le cas ou le point M a
un mouvement circulaire de rayon R autour de l’axe passant ∆ par
O.
  
L/ O ( M ) = mOM × v ( M ) ∆
    e eθ vM
OM = r.er et v = Rθ??...