Antilles Guyane 2017. Enseignement spécifique
EXERCICE 5 : corrigé

−−→ −→
1) a) Les coordonnées du vecteur AB sont (2, 0, 4) et les coordonnées du vecteur AC sont (0, −1, 1).
−→ −−→
Si il existe un réel k tel que AC = k AB, on a en particulier −1 = 0k (en analysant la deuxième coordonnée) ce qui est
−−→ −→
impossible. Donc, les vecteurs AB et AC ne sont pas colinéaires ou encore les points A, B et C ne sont pas alignés.
−−→ −→
b) AB.AC = 2 × 0 + 0 × (−1) + 4 × 1 = 4.
√ √ √ √ p √
c) AB = 22 + 02 + 42 = 20 = 4 × 5 = 2 5 et AC = 02 + (−1)2 + 12 = 2. Par suite,
−−→ −→


 AB.AC 4 2
cos BAC = = √ √ =√ .
AB × AC 2 5× 2 10
= 51◦ arrondi au degré.
La calculatrice fournit alors BAC
2) a) Les points A, B et C ne sont pas alignés et donc les points A, B et C définissent un unique pan, le plan (ABC).
−−→ −
AB.→n = 2 × 2 + 0 × (−1) + 4 × (−1) = 4 − 4 = 0,
et
−→ −
AC.→ n = 0 × 2 + (−1) × (−1) + 1 × (−1) = 1 − 1 = 0.
−−→ −→
Le vecteur −
→
n est orthogonal aux vecteurs AB et AC qui sont deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC). Donc, le
→
−
vecteur n est un vecteur normal au plan (ABC).
b) Le plan (ABC) est le plan passant par A(−1, 2, 0) et de vecteur normal −
→
n (2, −1, −1). Une équation cartésienne
du plan (ABC) est 2(x + 1) − (y − 2) − (z − 0) = 0 ou encore 2x − y − z + 4 = 0.
3) a) Un vecteur normal au plan P2′ d’équation x − 2z + 6 = 0 est le vecteur − → de coordonnées (1, 0, −2). Puisque
n 2
′ −→
P2 est parallèle à P2 , n2 est encore un vecteur normal au plan P2 . Ainsi, P2 est le plan passant par O(0, 0, 0) et de
vecteur normal −→(1, 0, −2). Une équation cartésienne de P est donc x − 2z = 0 ou encore x = 2z.
n2 2

b) Un vecteur normal au plan P1 d’équation 3x + y − 2z + 3 = 0 est le vecteur − n→ de coordonnées (3, 1, −2). Les
1
−
→ −
→
vecteurs n1 et n2 ne sont pas colinéaires et donc les plans P1 et P2 ne sont pas parallèles. Par suite, les plans P1 et
P2 sont sécants en une droite.
c) Puisque l’on sait que P1 et P2 sont sécants en une droite, il suffit de vérifier que tout point de D est un point de
P1 ∩ P2 .
Soit M (2t, −4t − 3, t), t ∈ R, un point de la droite D.

3xM + yM − 2zM + 3 = 3(2t) + (−4t − 3) − 2(t) + 3 = 6t − 4t − 3 − 2t + 3 = 0
et donc M appartient à P1 . De même,

xM − 2zM = (2t) − 2(t) = 0
et donc M appartient à P2 . Ainsi, tout point de D appartient à P1 et P2 et donc P1 ∩ P2 est la droite D.
4) Soit M (2t, −4t − 3, t), t ∈ R, un point de la droite D.

M ∈ (ABC) ⇔ 2(2t) − (−4t − 3) − t + 4 = 0 ⇔ 7t + 7 = 0 ⇔ t = −1.
Quand t = −1, on obtient le point I de coordonnées (−2, 1, −1). Le points I est le point d’intersection des plans
(ABC), P1 et P2 .




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