Baccalaur´
eat 2018 s´
erie S, France m´
etropolitaine 22 Juin 2018
Exercice 1
1) La largeur de la chaˆınette vaut 2x (on a suppos´e x ≥ 0). Sa hauteur est l’ordonn´ee du point M
1
soit (ex + e−x − 2). L’´egalit´e entre la hauteur et la largeur ´equivaut donc `a trouver les x ≥ 0 v´erifiant
2
1 x
(e + e−x − 2) = 2x, ce qu’on peut re-´ecrire ex + e−x − 2 = 4x ou encore ex + e−x − 4x − 2 = 0.
2
Connaissances requises 2nde . Difficult´e : facile.


2a) Comme on suppose dans cette question que x est non nul, on peut mettre x en facteur dans l’expression
ex ex
ex − 4x ce qui donne x( − 4). f (x) s’´ecrit alors: x( − 4) + e−x − 2.
x x
Connaissances requises 4e . Difficult´e : tr`es facile.


ex ex ex
2b) On sait que lim = +∞, donc lim − 4 = +∞ et donc lim x( − 4) = +∞.
x→+∞ x x→+∞ x x→+∞ x
D’autre part on sait que lim e−x = 0, donc lim e−x − 2 = −2 et en ajoutant les deux expressions, la
x→+∞ x→+∞
premi`ere tendant vers l’infini, la deuxi`eme vers une constante, la somme tend vers +∞. En conclusion,
lim f (x) = +∞.
x→+∞
Connaissances requises TS. Difficult´e : assez facile.


3a) f 0 (x) = ex + (−1)e−x − 4 = ex − e−x − 4.
Connaissances requises TS. Difficult´e : facile.


3b) Si x v´erifie f 0 (x) = 0, x v´erifie donc ex − e−x − 4 = 0. En multipliant cette ´egalit´e par ex on obtient
(ex )2 − ex−x − 4ex = 0 = (ex )2 − 1 − 4ex qui est l’´egalit´e demand´ee.
Connaissances requises TS. Difficult´e : facile.


3c) En notant X = ex , la pr´ec´edente ´egalit´e devient X 2 − 4X − 1 = 0. ∆ = 42 − 4 × 1 × (−1) = 20. Les
racines du polynˆome sont donc :
√
4 − 20 √ √
X1 = = 2 − 4 × 5/2 = 2 − 5
2
et √
4 + 20 √ √
X2 = = 2 + 4 × 5/2 = 2 + 5
2
On cherche donc x tel que ex = X1 ou bien tel que ex = X2 . La premi`ere ´equation n’a√pas de√solution
car X1 est n´egatif alors que l’exponentielle√est toujours strictement positive.
√ En effet 5 > 4 car la
fonction racine carr´ee est croissante, donc 5 > 2 √ et donc X1 = 2 − 5 < 0. Reste l’´equation ex = X2 ,
donc ln(ex ) = ln(X2 ) et donc x = ln(X2 ) = ln(2 − 5)
Connaissances requises 2nde pour les solutions du polynˆome, TS pour la suite. Difficult´e : assez facile.


4a) Le travail est d´ej`a a` moiti´e fait par la donn´ee du tableau de signe de la d´eriv´ee. En 0 on a f (0) =
e0 + e0 − 4 × 0 − 2 = 0. La limite de f en +∞ est +∞ car ex tend vers +∞ et e−x tend vers 0 en +∞.
On obtient le tableau de variation suivant :

1
 √
x 0 ln(2 + 5) +∞
0 +∞
f (x) & %

Connaissances requises 1ere except´e le calcul de f (0) et la limite en +∞ (TS). Difficult´e : tr`es facile.


4b) Le seul th´eor`eme du cours de terminale permettant de justifier l’existence d’une solution unique d’une
´equation f (x) = 0 que l’on ne sait pas r´esoudre de fa¸con alg´ebrique est le th´eor`eme des valeurs in-
term´ediaires pour les fonctions monotones. Pas de myst`ere donc, c’est cela qu’il faut utiliser ici.
√
Comme f (0) = 0 et que f est strictement d´ecroissante sur [0; ln(2 + 5)], f ne peut s’annuler que √ en 0 sur
cet intervalle. Comme on cherche une solution strictement
√ positive il faut chercher sur [ln(2 + 5); +∞[.
De ce qui pr´ec`ede on d´eduit aussi
√ que f (ln(2 + 5)) < 0. De plus, comme la limite de f en +∞ est +∞,
il existe un r´eel x0 > ln(2 + 5) tel que pour√tout x > x0 , alors f (x) > 0. f ne peut donc s’annuler au
del`a de x0 et f change de signe entre ln(2 + 5) et x0 . Comme sur cet intervalle f est continue (car les
fonctions x 7→ ex et x 7→ e−x sont continues), et qu’elle est de plus monotone, elle s’annule une fois et une
seule sur cet intervalle, en un nombre r´eel qu’on notera α.
Connaissances requises TS. Difficult´e : moyenne.


5a)

m a b b−a
2 3 1
2.5 2 2.5 0.5
2.25 2.25 2.5 0.25
2.375 2.375 2.5 0.125
2.4375 2.4375 2.5 0.0625
Connaissances requises TS. Difficult´e : moyenne.


5b) En fin d’algorithme les valeurs de a et b obtenues donnent un encadrement `a 0, 1 pr`es du nombre α
cherch´e `a la question pr´ec´edente.

On peut dire que c’´etait une des rares questions difficiles de ce sujet, car il y a en effet fort `a parier que les
algorithmes ont ´et´e survol´es rapidement par beaucoup d’enseignants par manque de temps. Pour autant, la
plupart des sujets propos´es ces derniers temps contenaient des algorithmes simples de ce type, il n’y avait
donc aucune surprise `a en trouver un dans cet ´enonc´e.... Ici il s’agissait de reconnaˆıtre l’algorithme de
r´esolution d’une ´equation par dichotomie, algorithme tr`es classique en terminale S.
Connaissances requises TS. Difficult´e : difficile.


t
6) La solution t de E 0 v´erifie = α d’apr`es la question 4, donc t = 39α et la hauteur cherch´ee valant
39
le double de t, cette hauteur vaut 78α, qui d’apr`es la question 6 est dans l’intervalle [190, 125; 195], les
nombres ´etant exprim´es en metres.
Connaissances requises TS. Difficult´e : facile.




2
 Exercice 2
A 1a) L’´enonc´e indique que 20% de la population a contract´e la grippe donc on a P (G) = 0, 2.
Connaissances requises TS. Difficult´e : tr`es facile.


A 1b)

0, 08 G
%
0, 4 V
% &
¯
0, 92 G
%
&
p1 G
& %
0, 6 V¯
&
p2 ¯
G
Remarque: dans cette question on ne demandait mˆeme pas p1 ni p2 qui sont demand´es plus tard.
Connaissances requises TS. Difficult´e : facile.


A 2) La probabilit´e que la personne choisie ait contract´e la grippe et soit vaccin´ee vaut d’apr`es le 1b
0, 4 × 0, 08 = 0, 032.
Connaissances requises TS. Difficult´e : tr`es facile.


A 3) En lisant l’arbre du 1b on a P (G) = 0, 4 × 0, 08 + 0, 6 × p1 . Donc on a 0, 2 = 0, 032 + 0, 6 × p1 soit
0, 168
p1 = = 0, 28. On en d´eduit p2 = 1 − p1 = 0, 72
0, 6
Connaissances requises TS. Difficult´e : moyenne.


B 1) Il n’y a que 2 possibilit´es de r´esultat `a chaque exp´erience individuelle ; vaccin´e ou non vaccin´e. De
plus, le fait qu’une personne soit vaccin´ee est ind´ependante du fait qu’une autre le soit (ou pas). X suit
donc une loi binomiale dont le param`etre est p = 0, 4
Connaissances requises TS. Difficult´e : facile.


B 2a) Calcul
! de P (X = 15). Je ne pense pas que les correcteurs exigent d’utiliser la formule P (X =
40
15) = × 0, 415 × 0, 625 ' 0.1228 environ. Donc direction la calculatrice. Pour une TI par exemple on
15
tapera :
binomFdP
nbreEssais:40
p: 0,4
valeur de x: 15
Sur une Casio : STAT ⇒ DIST ⇒ BINM : BinomialPD(15,40,0.4)
Connaissances requises TS. Difficult´e : assez facile.

3
B 2b) Calcul de P (X ≥ 20) = 1 − P (X ≤ 19). Pour ce calcul, il n’y a pas de formule toute faite a` moins
de faire a` la main la somme de tous les P (X = k) pour k allant de 0 a` 19 inclu, donc l`a encore, pas de
scrupule `a utiliser la calculatrice. Pour une TI par exemple on tapera :
binomFRep
nbreEssais:40
p: 0,4
valeur de x: 19
Sur une Casio : STAT ⇒ DIST ⇒ BINM : BinomialCD(19,40,0.4)
Ce qui donne environ 0, 8702 et donc la probabilit´e qu’au moins la moiti´e des personnes soient vaccin´ees
est environ de 1 − 0, 8702 = 0, 1298.
Connaissances requises TS. Difficult´e : assez fac...