Chapitre 11
Lois à densité. Loi normale



1 Lois à densité
1.1 Généralités


Définition 7 : On appelle densité de probabilité d’une variable aléatoire continue X, la
fonction f continue et positive sur un intervalle I ([ a; b], [ a; +∞[ ou R) telle que :
Z
• P (X ∈ I) = f (t) dt = 1 1
(I)
Cf
• Pour tout intervalle J = [α, β], on a :
Z β P (X ∈ J)
P ( X ∈ J) = f (t) dt 1 u.a.
α O α β

• La fonction F définie par : F ( x ) = P( X 6 x ) 1
est appelée la fonction de répartition de la
Cf
variable X
Z x F(x)

F(x) = a
f (t)dt
O x
−∞

• L’espérance mathématique d’une variable aléatoire continue X, de densité f sur I, est :
Z
E(X) = t f (t) dt
(I)




1.2 Loi uniforme


Définition 8 : X suit une loi uniforme sur I = [ a, b], alors :
1
f (t) =
b−a


Pour tout intervalle J = [α, β] inclus dans I, 1
on a : b−a
1 u.a. P( X ∈ J )
β−α longueur de J
P ( X ∈ J) = =
b−a longueur de I
O a α β b
La probabilité est proportionnelle à la lon-
gueur de l’intervalle.

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 CHAPITRE 11. LOIS À DENSITÉ. LOI NORMALE


1.3 Loi exponentielle


Définition 9 : X suit une loi exponentielle de paramètre réel λ alors :
f (t) = λe−λ t

On a les relations suivantes
• La fonction de répartition : F ( x ) = 1 − e−λ x
• P(X 6 a) = 1 − e−λ a et P(X > a) = e−λ a
• P ( a 6 X 6 b ) = F ( b ) − F ( a ) = e−λ a − e−λ b



Théorème 1 : La loi exponentielle est une loi sans mémoire

∀t > 0 et h > 0 on a PX> t ( X > t + h) = P(X > h)



Théorème 2 : X suit une loi exponentielle de paramètre λ alors :

1
• l’espérance : E(X) = λ
λ
ln 2
• La demi vie : t1/2 =
λ
1
t1/2 2
u.a.
• E(X) = ≃ 1, 44 t1/2 1
ln 2 2
u.a.

O t1/2 E( X )




2 La loi normale

2.1 La loi normale centrée réduite


Définition 10 : On appelle densité de probabilité de Laplace-Gauss, la fonction ϕ définie
sur R par : 1 t2
ϕ(t) = √ e− 2
2π
X suit une loi normale centrée réduite, N (0, 1), si sa densité de probabilité est égale à la
fonction ϕ.
Z x
Sa fonction de répartition Φ vaut : Φ( x ) = ϕ(t) dt
−∞
L’espérance de X vaut 0 et son écart-type 1 d’où N (0, 1)




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 CHAPITRE 11. LOIS À DENSITÉ. LOI NORMALE



Théorème 3 : X suit la loi N (0, 1) alors pour tous réels a et b > a on a :

• P( X 6 a) = Φ( a)
Φ(b) − Φ( a)
• P( X > b) = 1 − Φ(b)
Φ( a)
• P( a 6 X 6 b) = Φ(b) − Φ( a)
1 − Φ(b)
• P( X 6 −| a|) = 1 − Φ(| a|)
a b




Théorème 4 : X est une variable aléatoire qui suit un loi normale centrée réduite. Soit
α ∈]0; 1[, il existe un unique réel strictement positif uα tel que :
P(−uα 6 X 6 uα ) = 1 − α

Il est bon de retenir les valeurs de u0,05 et u0,01 :
• P(−1.96 6 X 6 1.96) = 0, 95
• P(−2.58 6 X 6 2.58) = 0, 99




2.2 La loi normale générale


Définition 11 : Changement de variable

X suit une loi normale de paramètres N (µ, σ2 ), alors :
X−µ
Z= suit une loi normale N (0, 1)
σ
On a alors : E(X) = µ et V(X) = σ2




On obtient les intervalles caractéristiques :




99,7% 68%
99,7%
95% 95%
b b


µ − 3σ µ − 2σ µ − σ µ µ + σ µ + 2σ µ + 3σ



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 CHAPITRE 11. LOIS À DENSITÉ. LOI NORMALE


2.3 Approximation normale d’une loi binomiale


Théorème 5 : Théorème de Moivre-Laplace

X suit la loi binomiale B (n, p) et Z tel que :

X − E( X ) X − np
Z= =p
σ( X ) np(1 − p)
Pour tous nombres a et b tels que a < b, on a :
1
Z b
t2
lim P( a 6 Z 6 b) = √ e− 2 dt
n→+∞ a 2π

Conditions de l’approximation d’une loi binomiale B (n, p) par une loi normale
N [np, np(1 − p)]
n > 30, np > 5 et n (1 − p ) > 5
B Faire la correction de continuité : P(7 6 X 6 15) = PN (6, 5 6 X 6 15.5)




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