convexité
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Catégorie :Category: nCreator TI-Nspire
Auteur Author: hugodurzy
Type : Classeur 3.0.1
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Mis en ligne Uploaded: 20/06/2013 - 22:33:39
Uploadeur Uploader: hugodurzy (Profil)
Téléchargements Downloads: 559
Visibilité Visibility: Archive publique
Shortlink : http://ti-pla.net/a19008
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Description
Fichier Nspire généré sur TI-Planet.org.
Compatible OS 3.0 et ultérieurs.
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I. Fonction convexe - Fonction concave Définition Soient f une fonction dérivable sur un intervalle I et C f sa courbe représentative. On dit que f est convexe sur I si la courbe C f est au-dessus de toutes ses tangentes. On dit que f est concave sur I si la courbe C f est au-dessous de toutes ses tangentes. Exemples Fonction convexe Fonction concave Théorème Si f est dérivable sur I : f est convexe sur I si et seulement si f 2 est croissante sur I f est concave sur I si et seulement si f 2 est décroissante sur I Remarque L'étude de la convexité se ramène donc à l'étude des variations de f 2 . Si f 2 est dérivable, on donc est amené a étudier le signe la dérivée de f 2 . Cette dérivée s'appelle la dérivée seconde de f et se note f 22 . Théorème Si f est dérivable sur I et si f 2 est dérivable sur I (on dit aussi que f est 2 fois dérivable sur I ) : f est convexe sur I si et seulement si f 22 est positive ou nulle sur I f est concave sur I si et seulement si f 22 est négative ou nulle sur I Exemples La fonction f : x ¦ x 2 est deux fois dérivable sur . f 2( x ) = 2 x et f 22( x ) = 2 . Comme f 22 est positive sur , f est convexe sur . La fonction f : x ¦ x 3 est deux fois dérivable sur . f 2( x ) = 3 x 2 et f 22( x ) = 6 x . f 22 e 0 sur [0; + [ , donc f est convexe sur [0; + [ . f 22 d 0 sur ] ; 0] , donc f est concave sur ] ; 0] . II. Point d'inflexion Définition Soient f une fonction dérivable sur un intervalle I , C f sa courbe représentative et A( a ; f ( a )) un point de la courbe C f . On dit que A est un point d'inflexion de la courbe C f , si et seulement si la courbe C f traverse sa tangente en A . Exemple A est un point d'inflexion Propriété Si A est un point d'inflexion d'abscisse a , f passe de concave à convexe ou de convexe à concave en a . Théorème Soit f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I de courbe représentative C f . Le point A d'abscisse a est un point d'inflexion de C f si et seulement si f 22 s'annule et change de signe en a . Exemple Le graphique de l'exemple précédent correspond à la fonction définie par : f ( x ) = 1 3 x 3 x 2 + 1 On a f 2( x ) = x 2 2 x et f 22( x ) = 2 x 2 . On vérifie bien que f 22 change de signe en 1 . Donc le point A d'abscisse 1 et d'ordonnée f (1) = 1 3 est bien un point d'inflexion.‘
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I. Fonction convexe - Fonction concave Définition Soient f une fonction dérivable sur un intervalle I et C f sa courbe représentative. On dit que f est convexe sur I si la courbe C f est au-dessus de toutes ses tangentes. On dit que f est concave sur I si la courbe C f est au-dessous de toutes ses tangentes. Exemples Fonction convexe Fonction concave Théorème Si f est dérivable sur I : f est convexe sur I si et seulement si f 2 est croissante sur I f est concave sur I si et seulement si f 2 est décroissante sur I Remarque L'étude de la convexité se ramène donc à l'étude des variations de f 2 . Si f 2 est dérivable, on donc est amené a étudier le signe la dérivée de f 2 . Cette dérivée s'appelle la dérivée seconde de f et se note f 22 . Théorème Si f est dérivable sur I et si f 2 est dérivable sur I (on dit aussi que f est 2 fois dérivable sur I ) : f est convexe sur I si et seulement si f 22 est positive ou nulle sur I f est concave sur I si et seulement si f 22 est négative ou nulle sur I Exemples La fonction f : x ¦ x 2 est deux fois dérivable sur . f 2( x ) = 2 x et f 22( x ) = 2 . Comme f 22 est positive sur , f est convexe sur . La fonction f : x ¦ x 3 est deux fois dérivable sur . f 2( x ) = 3 x 2 et f 22( x ) = 6 x . f 22 e 0 sur [0; + [ , donc f est convexe sur [0; + [ . f 22 d 0 sur ] ; 0] , donc f est concave sur ] ; 0] . II. Point d'inflexion Définition Soient f une fonction dérivable sur un intervalle I , C f sa courbe représentative et A( a ; f ( a )) un point de la courbe C f . On dit que A est un point d'inflexion de la courbe C f , si et seulement si la courbe C f traverse sa tangente en A . Exemple A est un point d'inflexion Propriété Si A est un point d'inflexion d'abscisse a , f passe de concave à convexe ou de convexe à concave en a . Théorème Soit f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I de courbe représentative C f . Le point A d'abscisse a est un point d'inflexion de C f si et seulement si f 22 s'annule et change de signe en a . Exemple Le graphique de l'exemple précédent correspond à la fonction définie par : f ( x ) = 1 3 x 3 x 2 + 1 On a f 2( x ) = x 2 2 x et f 22( x ) = 2 x 2 . On vérifie bien que f 22 change de signe en 1 . Donc le point A d'abscisse 1 et d'ordonnée f (1) = 1 3 est bien un point d'inflexion.‘
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