TSI2 Lycée Gustave Eiel
Mathématiques 2014/2015 - J. Aurouet

- Éléments d'algèbre linéaire -

 SOUS-ESPACES VECTORIELS : Soit E un K-ev.
Def : Soit F un sous-ensemble de E . F est un sev de E si : F est non vide
(ou OE ∈ F ) et ∀x, y ∈ F ∀λ ∈ K, x + λ · y ∈ F .
Prop : Un sev est lui-même un K-ev pour les restrictions des lois de E .
 Donc pour montrer qu'un ensemble est un K-ev on montre souvent que c'est
un sev d'un K-ev déjà connu.
Prop : L'intersection de deux sev est un sev (de même pour toute intersection
nie de sev). L'union de deux sev n'est un sev que si l'un est inclus dans l'autre.

 FAMILLES DE VECTEURS : Soit (ei )i∈I une famille de vecteurs de E .
Def : V ectK ((ei )i∈I ) est l'ensemble des combinaisons linéaires nies de vecteurs
de la famille (ei )i∈I . On dit que
P (ei )i∈I est :
- Libre si : ∀(λi ) ∈ K(I) , i∈I λi ei = 0 =⇒ ∀i ∈ I, λi = 0.
- Génératrice si : ∀x ∈ E ∃(xi )i∈I ∈ K(I) , x = i∈I xi ei .
P
- Une Base si elle est libre et génératrice.
Ex : Dans K[X], toute famille échelonnée en degré de polynômes non nuls est
libre.
Thrm : Les théorèmes de base incomplète ou trop complète : En dimension
nie, de toute famille génératrice on peut extraire une base, et toute famille
libre peut être complétée en une base de E .

 SOMMES DIRECTES :
Vraie Def : Soit F1 , ... , Fp , L
p sev de E . On dit que E est somme directe des
sev F1 , ... , Fp ou encore E = pi=1 Fi si pour tout x ∈ E il existe une unique
décomposition x = x1 + ... + xp où (x1 , ..., xp ) ∈ F1 × · · · × Fp .
Prop : si p = 2 alors E = F1 ⊕ F2 ⇐⇒ E = F1 + FL2 et F1 ∩ F2 = {0E }.
Def : Une bases adaptée à la somme directe E = pi=1 Fi est une base formée
par concaténation de bases Bi de chaque sev Fi .

 APPLICATION LINÉAIRES : Soit E et F deux K-ev.
Def : Soit u une application de E dans F , u est linéaire si :
∀x, y, ∈ E ∀λ ∈ K u(x + λy) = u(x) + λ(y). Ceci implique que u(0E ) = 0F .
Prop : Une combinaison linéaire de deux applications linéaires est une applica-
tion linéaire, donc LK (E, F ) est un K-ev. La composition de deux applications
linéaires est linéaire.
Def : Im(u) = {y ∈ F | ∃ x ∈ E, y = u(x)} est un sev de F .
Def : Ker(u) = {x ∈ E | u(x) = 0F } est un sev de E .
Prop : u surjective ⇔ Im(u) = F et u injective ⇔ Ker(u) = {OE }.
Prop : En dimension nie : u injevtive ⇔ u surjective ⇔ u bijective.
Def : u est un isomorphisme si u est bijective, u est un endomorphisme si
E = F et u est un automorphisme si u est un endomorphisme de E et bijectif.
(LK (E), +, ·, ◦) est une K-algèbre (généralement non commutative).
Def : Si F est un sev de E et u ∈ LK (E) alors on dit que F est stable par u si
u(F ) ⊂ F . Dans ce cas u|F ∈ LK (F ).



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 DIMENSION : Soit E et E 0 deux K-ev de dimensions nies.
Def : Toutes les bases de E ont le même cardinal, on appelle ce nombre, la
dimension de E .
Prop : Soient F et G deux sev de E et u ∈ LK (E, E 0 ) alors :
- F ⊂ G et dimK (F ) = dimK (G) ⇔ F = G.
- dimK (F + G) = dimK (F ) + dimK (G) − dimK (F ∩ G) (Grassmann).
- dimK (F ⊕ G) = dimK (F ) + dimK (G)
- dimK (E) = dimK (Ker(u)) + dimK (Im(u)) (Théorème du rang).
- dimK (LK (E, E 0 )) = dimK (E) × dimK (E 0 ).
- rg(u) := dimK (Im(u)) et si E = E 0 alors u bijective ⇔ rg(u) = dimK (E).
Def : Si E 0 = K on dit que u est une forme linéaire. Si H est un sev tel que
dimK (H) = dimK (E) − 1 on dit que H est un hyperplan.
Prop : H est un hyperplan ⇔ H est le noyaux d'une forme linéaire P ⇔ pour
toute base B = (e1 , ..., en ) ∃(a1 , ..., an ) ∈ Kn tels que pour tout x = xi ei ∈ E :
x ∈ H ⇔ a1 x1 + ... + an xn = 0 (équation caractéristique d'un hyperplan).

 MATRICES :
Def : Mn (K) est l'ensemble des matrices carrés de taille nP . On y dénit le
produit matriciel : ∀A, B ∈ Mn (K), ∀ 1 ≤ i, j ≤ n, (AB)ij = nk=1 Aik Bkj .
Def : L'ensemble des matrices inversibles se note GLn (K) et si A, B ∈ GLn (K)
alors (AB)−1 = B −1 × A−1 .
Mn (K) est donc une K-algèbre non commutative d'unitéPIn .

Prop : Si A et B commutent alors : (A + B)n = ni=0 nk Ak B n−k avec
A0 = B 0 = In . (Binôme de Newton)
Def : Soit E et F deux K-ev, (ei ) une base de E et (fi ) une base de F et
u ∈ LK (E, F ). Alors M est la matrice de u dans les bases (ei ) et (fi ) si :
∀ 1 ≤ i, j ≤ n, Mij = fi∗ (u(ej )). (dans la j -ème colonne on place les coordonnées
de u(ej ) dans la base (fi ))
Thrm : La matrice d'une composée d'application linéaire est le produit des
matrices. (ou MB,B00 (v ◦ u) = MB0 ,B00 (v) × MB,B0 (u))
Def : Deux matrices A et B sont semblables s'il existe une matrice inversible
P ∈ GLn (K telle que B = P −1 AP .
Def : Soit M ∈ Mn (K). On appelle transposée de A la matrice t A telle que
∀ 1 ≤ i, j ≤ n, (t A)ij = Aji .
Prop : t (AB) = (t B) × (t A) et si A est inversible (t A)−1 =t (A−1 ) = t A−1 .
Def : Si t M = M on dit que M est symétrique. Si t M = −M on dit que M est
antisymétrique.
Def : Soit M ∈ Mn (K). On appelle trace de M le nombre : tr(M ) := ni=1 Mii .
P
Prop : La trace est une forme linéaire sur Mn (K) et pour toutes matrices carrés
A et B on a : tr(AB) = tr(BA).
Prop : Deux matrices semblables ont même rang, même trace, même déter-
minant, même polynôme caractéristique, mêmes valeurs propres (chacune des
réciproques est fausse) et elles sont toutes deux la matrice d'un même endomor-
phisme exprimées dans des bases diérentes.




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