TSI2 Lycée Gustave Eiel
Mathématiques 2014/2015 - J. Aurouet
- Déterminant et réduction -

 DÉTERMINANT
Def : On se place sur Kn où K = R ou C. Le déterminant est :
- une forme n-linéaire : il envoie donc une famille de n vecteurs sur un réel,
et qui est linéaire par rapport à chaque variable.
- alternée : si deux vecteurs de la famille sont identiques le déterminant est
nul.
- antisymétrique : échanger deux vecteurs a pour eet de multiplier le déter-
minant par −1.
L'ensemble des formes n-linéaires alternées est de dimension 1 et il en existe
une unique telle que l'image de la base canonique de Kn vaut 1.
Def : Le déterminant d'une matrice M ∈ Mn (K) est le déterminant de la
famille de ces vecteurs colonnes.
Prop : - ∀λ ∈ K, det(λM ) = λn det(M ).
- ∀A, B ∈ Mn (K), det(AB) = det(BA).
- det(t A) = det(A).
- det(A−1 ) = det(A)
1
, donc A, B semblables ⇒ det(A) = det(B) (réciproque
fausse).
Prop : - Une famille de n vecteurs est une base si et seulement si son déterminant
est non nul.
- Une matrice est inversible si et seulement si son déterminant est non nul.
Calcul : - Le déterminant d'une matrice triangulaire supérieure (ou diagonale)
est le produit des coecients diagonaux.
   
a b a b d −b
- = ad − bc et si A = alors A−1 = 1
.
c d c d det(A) −c a
- On change le signe d'un déterminant en échangeant deux lignes ou deux co-
lonnes.
- Si on multiplie une seule ligne ou une colonne par α, on multiplie le détermi-
nant par α.
- Le déterminant reste inchangé si on ajoute à une colonne (ou ligne) une com-
binaison linéaire des autres lignes (ou colonnes).
- Développement par rapport à une ligne ou une colonne (voir cours, on n'oublie
pas les signes (−1)(i+j) en développant).
Déterminant de Vandermonde : Soit (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Kn .
1 x1 x21 ··· xn−1
1
1 x2 x22 ··· xn−1
2 Y
.. .. = (xj − xi )
. . 1≤i<j≤n
1 xn x2n ··· xn−1
n

 RÉDUCTION - Soit E un K-ev et u ∈ L(E).
Def : - Soit λ ∈ K, λ est une valeur propre de u s'il existe x ∈ E non nul tel
que u(x) = λx.
- Si λ est une valeur propre alors Eλ := ker(u − λid) est l'espace propre associé.
- L'ensemble des valeurs propres de u est appelée le spectre de u.
Prop : λ1 6= λ2 =⇒ Eλ1 ∩ Eλ2 = {0E }.

1
 - Désormais E est supposé de dimension nie. -
Def : On dit que u est diagonalisable si l'une de ces assertions (équivalentes)
est vériée :
- E est somme directe des sous-espaces propres de u.
- Il existe une base formée de vecteurs propres pour u.
- Il existe une base dans laquelle la matrice de u est diagonale.
Def : On dit que u est trigonalisable s'il existe une base dans laquelle la matrice
de u est triangulaire supérieure.
Matrices :
- λ est une valeur propre de M s'il existe un vecteur colonne X non nul tel que
M X = λX .
- Si λ est une valeur propre de M alors Eλ := ker(M − λIn ) est l'espace propre
associé.
- L'ensemble des valeurs propres de M est appelée le spectre de M .
- M est diagonalisable si et seulement si elle est semblable à une matrice diago-
nale. Autrement dit : il existe P inversible telle que P −1 M P est diagonale.
- M est trigonalisable si elle est semblable à une matrice triangulaire supérieure.
Def : L'application qui à un nombre λ associe det(M − λIn ) (ou det(λIn − M )
dans le programme) est une fonction polynomiale et le polynôme associé χM est
appelée le polynôme caractéristique de M . Il est de degré n et s'écrit aussi :
det(M − xIn ) = (−1)n xn + (−1)n−1 tr(M )xn−1 + ... + det(M ).
Prop : Deux matrices semblables ont le même polynôme caractéristique (réci-
proque fausse).
Prop : - λ est valeur propre de M si et seulement si elle est racine du polynôme
caractéristique de M .
- On appelle "multiplicité de λ" sa multiplicité dans χM en tant que racine. On
la note σ(λ) et on a toujours 1 ≤ dim(Eλ ) ≤ σ(λ).
Théorème : M est trigonalisable si et seulement si χM est scindé.
Corollaire : Si M ∈ M(C) alors M est toujours trigonalisable. Si M ∈ M(R)
alors M est toujours trigonalisable
Q dans C. Et dans ce cas :
tr(M ) = λi et det(M ) = λi (compter avec les multiplicités).
P
Théorème : M est diagonalisable si et seulement si χM est scindé et toutes les
valeurs propres sont "innocentes" : dim(Eλ ) = σ(λ).
Corollaire : Si χM est scindé à racines simples alors M est diagonalisable
(attention, réciproque fausse).
Applications indispensables :
 Puissance d'une matrice diagonalisable : M n = P Dn P −1 .
 Suites récurrentes linéaires d'ordre deux :
Si (un ) est une suite dénie par u0 , u1 ∈ R et pour tout n ≥ 2  
un
un = aun−1 +bun−2 avec a, b réels, b 6= 0. Si on pose vn = un−1 et Xn =
  vn
a b
alors : Xn+1 = Xn . Pour obtenir l'expression générale de un , on
1 0
détermine les racines du polynôme caractéristique X 2 − aX − b :
- S'il admet deux racines distinctes r1 et r2 alors il existe deux réels α, β tels
que : ∀n ∈ N, un = αr1n + βr2n .
- S'il admet une racine double r0 alors il existe α, β tels que :
∀n ∈ N, un = αr0n + βnr0n−1 .
On détermine α, β grâce aux valeurs initiales u0 , u1 .

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