Systèmes linéaires invariants : généralités 34
Réponse d'un système linéaire à une excitation sinusoïdale
On considère un système linéaire caractérisé par la fonction de transfert H ( jω)
vue plus haut. Alors, pour un signal en entrée e(t) sinusoïdal de pulsation ω, on
s
obtient en sortie un signal s(t) sinusoïdal de même pulsation tel que H ( jω) =
e
(ceci se démontre avec les équivalents aux opérateurs différentiels pour des
signaux sinusoïdaux).
Diagramme de Bode
Ce diagramme sert à représenter la réponse d'un système linéaire à des excitations
sinusoïdales en fonction de la pulsation des excitations. On note
H ( jω) = |H |e jϕ , le diagramme de Bode est constitué de la représentation des
fonctions :
|H |d B (ω) = 20 log(|H ( jω)|)
ϕ(ω)

ω étant porté par une échelle logarithmique.
|H |d B est le gain du système pour la pulsation ω et ϕ est la phase.
Diagramme de Nyquist
Ce diagramme est la représentation de l'arc paramétré H ( jω) dans le plan complexe.
Taux de distorsion harmonique
Cette grandeur est définie pour un système non linéaire qui, recevant une entrée
sinusoïdale, renvoie une sortie de même période non nécessairement sinusoïdale.
D'après le théorème de Fourier, cette sortie peut se mettre sous la forme

s(t) = a0 + ∞
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.




k=1 ak cos(kωt) + bk sin(kωt) ; le taux de distorsion harmonique
est alors défini par :
Électricité, électronique

∞
ak2 + bk2
k=2
D.H.T. = 10 log ∞ .
ak + bk
2 2

k=1




101
 35 Systèmes linéaires
classiques


1. Systèmes du premier ordre
Filtre passe-bas
Sa fonction de transfert est de la forme :
H0
H=
1 + jx
ω
avec x = , où ωc est la pulsation de coupure. Cette pulsation de coupure est
ωc
|H |max
définie dans le cas général par |H ( jωc )| = √ .
2
Ce filtre est dit passe-bas, car les hautes fréquences sont « coupées » : la fonction
de transfert tend vers 0 quand ω tend vers +∞ .

Filtre passe-haut
jx
Sa fonction de transfert est de la forme H = H0 en reprenant les mêmes
1 + jx
notations.


2. Systèmes du second ordre
Filtre passe-bas (exemple)
H0 ω
Sa fonction de transfert est de la forme x avec x = .
1 − x2 + j ω0
Q
Filtre passe-bande (exemple)
H0 ω
Sa fonction de transfert est de la forme H =   , avec x = .
1 ω0
1 + jQ x −
x


102
 Systèmes linéaires classiques 35
Il y a résonnance (maximum de |H |) en ω = ω0 : ω0 est la pulsation de réson-
nance. Q est le facteur de qualité.
On peut aussi calculer la largeur ω de la bande passante, c'est-à-dire l'écart entre
ω0
les deux pulsations de coupure, ce qui donne ω = . On remarque que plus
Q
le facteur de qualité est grand, plus la bande passante est étroite.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.




Électricité, électronique




103
 36 Système linéaire
en régime non sinusoïdal



Réponse à un signal périodique
On considère un signal périodique e(t) en entrée que l'on décompose en série de

Fourier : e(t) = +∞ k=−∞ E k e
jkωt . En utilisant la linéarité du système, on obtient

le signal de sortie en étudiant la réponse à chaque composante de la série :
+∞ +∞
e(t) = E k e jkωt −→ s(t) = H ( jkω)E k e jkωt
k=−∞ k=−∞

Réponse en régime libre
On étudie la réponse du système avec un signal nul en entrée et un état initial
quelconque : s(0) = s0 .
Réponse indicielle (ou réponse à un échelon)
La fonction échelon est la fonction définie par :
0 si t < 0
H (t) =
1 si t  0

La réponse à une entrée définie par e(t) = H (t) est déterminée par la résolution
de l'équation différentielle régissant le système.
Réponse à une impulsion
La fonction impulsion est définie par δ(t) = H (t) , où H (t) est la fonction éche-
lon. La réponse à une entrée définie par e(t) = δ(t) est étudiée avec l'équation
différentielle régissant le système.




104
 Grandes fonctions 37
linéaires




Amplificateur opérationnel (AO)
Un amplificateur opérationnel est un composant à trois bornes « utiles », il est
représenté Fig. 37.1 avec les notations usuelles.
d Vs
En régime linéaire, la tension de sortie Vs vérifie la relation Vs + τ...