Lycée Saint-Louis MP*2




Mathématiques : exercices importants


4 octobre 2014


Sommaire
Révisions 3
Exercice 1 Moyennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Exercice 2 Inégalité de Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Exercice 3 Caractère scindé et dérivée logarithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Suites, séries numériques et intégrales impropres 6
Exercice 4 Étude d’une suite récurrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Exercice 5 Riemann généralisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Exercice 6 Approximation d’une intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Exercice 7 Convergence de l’intégrale et uniforme continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Exercice 8 Carrés intégrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Exercice 9 Formule des résidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Exercice 10 Étude d’intégrales à paramètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Espaces vectoriels normés 15
Exercice 11 Théorème de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Algèbre linéaire, réduction 16
Exercice 12 Petits lemmes d’algèbre linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Exercice 13 Indépendance des caractères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Exercice 14 Matrices d’incidence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Exercice 15 Carré diagonalisable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Exercice 16 Décomposition de Dunford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Exercice 17 Polynômes et endomorphismes cycliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Exercice 18 Condition sur la dépendance de formes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Exercice 19 Théorème de Burnside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Exercice 20 Matrices de Gram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Espaces préhilbertiens 27
Exercice 21 Caractérisation des projecteurs orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Exercice 22 Projection sur un convexe complet non vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Exercice 23 Inégalité de Hadamard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Exercice 24 La matrice symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Exercice 25 Ordre de Löwner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Exercice 26 Astuce euclidienne pour un groupe compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Suites et séries de fonctions 36
Exercice 27 Méthode des coefficients indéterminés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Exercice 28 Taille des coefficients de Fourier et régularité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Exercice 29 Calcul de sommes à l’aide de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Équations différentielles 40
Exercice 30 Limite d’une solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Exercice 31 Solutions maximales bornées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Exercice 32 Système de Lotka-Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

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2012/2013 Mathématiques : exercices importants


Géométrie 44
Exercice 33 Équation intrinsèque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Exercice 34 Cycloïde et équation intrinsèque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45




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Exercice 1 Moyennes
Soient a1 , . . . , an ∈ R+
∗
. On pose alors

n n
! n1
1X Y n
A (a1 , . . . , an ) = ak G (a1 , . . . , an ) = ak H (a1 , . . . , an ) = n .
n X 1
k=2 k=1
ai
k=1


1. Montrer que A (a1 , . . . , an ) > G (a1 , . . . , an ) > H (a1 , . . . , an ) avec égalité si et seulement si tous les ai
sont égaux.
1
2. On définit les suites (un ) et (vn ) par u0 = a > 0, u1 = b > 0, et ∀n ∈ N, un+1 = (un + vn ),
√ 2
vn+1 = un vn . Montrer que un et vn sont convergentes de même limite.
Solution de l’exercice 1
1. Par concavité de ln, il vient
n
1X
ln (A (a1 , . . . , an )) > ln(ak ) = ln (G (a1 , . . . , an )) .
n
k=1

On a donc démontré,  en  appliquant exp, que A (a1 , . . . , an ) > G (a1 , . . . , an ) En appliquant ce résultat
1
avec la famille des , on obtient l’autre inégalité. La fonction ln étant strictement concave sur
ai i∈J1,nK
R+ ∗
, le cas d’égalité dans les deux inégalités équivaut bien au fait que les ai soient tous égaux.
2. Montrer que les deux suites sont respectivement croissantes majorées et décroissantes minorées grâce à
l’exer...