Résumé du cours d’analyse de Sup et Spé

1 Topologie
1.1 Normes, normes équivalentes
Une norme sur le K-espace vectoriel E est une application N de E dans R vérifiant :

∀x ∈ E, N(x) > 0 (positivité)
∀x ∈ E, (N(x) = 0 ⇒ x = 0) (axiome de séparation)
∀x ∈ E, ∀λ ∈ K, N(λx) = |λ|N(x) (homogénéité)
∀(x, y) ∈ E2 , N(x + y) 6 N(x) + N(y) (inégalité triangulaire).


Normes équivalentes. Les normes N et N ′ sont équivalentes si et seulement si il existe deux réels strictement positifs
N′
α et β tel que ∀x ∈ E, αN(x) 6 N ′ (x) 6 βN(x). Il revient au même de dire que la fonction est bornée sur E {0}.
N
Théorème. Si E est de dimension finie sur K, toutes les normes sont équivalentes.

1.2 Voisinage
Soit x ∈ E. Un voisinage de x est une partie de l’espace vectoriel normé (E, N) qui contient une boule ouverte non vide de
centre x.
L’ensemble des voisinages de x se note V (x). Si V est une partie de E, (V ∈ V (X) ⇔ ∃r > 0/ Bo (x, r) ⊂ V).
Théorème.Une réunion quelconque de voisinage de x est un voisinage de x. Une intersection finie de voisinage de x est
un voisinage de x.

1.3 Ouverts, intérieur.
Ouvert. Un ouvert de l’espace vectoriel normé (E, N) est soit ∅, soit une partie non vide de E voisinage de chacun de ses
points. Si O est une partie non vide de E, (O est ouvert⇔ ∀x ∈ O, ∃r > 0/ Bo (x, r) ⊂ O).
Théorème. Une réunion quelconque d’ouverts est un ouvert. Une intersection finie d’ouverts est un ouvert.
◦
Intérieur. Un élément x de A 6= ∅ est intérieur à A si et seulement si A est voisinage de x. (∀x ∈ E, (x ∈ A ⇔ A ∈ V (x)).
L’intérieur d’une partie non vide A est l’ensemble des points de A dont A est voisinage.
◦
Théorème. A est le plus grand ouvert contenu dans A.
◦
Théorème. A est ouvert si et seulement si A = A.

1.4 Fermés, adhérence
Fermé. A est fermé si et seulement si le complémentaire de A est ouvert.
Théorème. Une intersection quelconque de fermés est un fermé. Une réunion finie de fermés est un fermé.
Théorème (caractérisation séquentielle des fermés). Une partie non vide A est fermée si et seulement si toute suite
convergente d’éléments de A converge dans A.
Adhérence. Un élément x de E est adhérent à A si et seulement si tout voisinage de x rencontre A
∀x ∈ E, (x ∈ A ⇔ ∀V ∈ V(x), V ∩ A 6= ∅). L’adhérence de A est l’ensemble des points adhérents à A.
Théorème. A est le plus petit fermé contenant A.
Théorème. A est fermé si et seulement si A = A.
Théorème. x est adhérent à A 6= ∅ si et seulement si il existe une suite d’éléments de A convergente de limite x.
∅ et E sont des parties à la fois ouvertes et fermées.

1.5 Compacts
Une partie non vide K de E est compacte si et seulement si de toute suite d’éléments de K, on peut extraire une sous-suite
qui converge vers un élément de K. ∅ est compact par convention.
Théorème. Si K est compacte, K est fermée et bornée.

1
Théorème (de Borel-Lebesgue). Si (E, N) est un evn de dimension finie, les compacts sont les parties fermées et
bornées.
Théorème (de Bolzano-Weierstrass). Si (E, N) est un evn de dimension finie, de toute suite bornée, on peut
extraire une sous-suite convergente.


2 Fonctions
2.1 Connexité par arcs
Définition. Soit A une partie non vide de E. A est connexe par arcs si et seulement si, pour tout (x, y) ∈ A2 , il existe
γ : t 7→ γ(t) définir et continue sur [0, 1] à valeurs dans E telle que
• γ(0) = x et γ(1) = y ;
• ∀t ∈ [0, 1], γ(t) ∈ A.
Théorème. Un convexe non vide est connexe par arcs.

2.2 Continuité
Théorème des valeurs intermédiaires. Soit f une application d’un evn (E, N) dans un evn (E ′ , N ′ ). Si f est continue
sur E, l’image d’un connexe par arcs de E est un connexe par arcs de E ′ .
En particulier, si f va de R dans R et est continue sur R, l’image d’un intervalle de R par f est un intervalle de R.
Théorème (images réciproques d’ouverts ou de fermé). f va d’une partie D d’un evn (E, N) dans un evn (E ′ , N ′ ).
f est continue sur D si et seulement si l’image réciproque de tout ouvert de (E ′ , N ′ ) est un ouvert de D, c’est-à-dire
l’intersection d’un ouvert de E avec D.
f est continue sur D si et seulement si l’image réciproque de tout fermé de (E ′ , N ′ ) est un fermé de D, c’est-à-dire
l’intersection d’un fermé de E avec D.
Théorème (image continue d’un compact). f va d’une partie D d’un evn (E, N) dans un evn (E ′ , N ′ ). Si f est continue
sur D, l’image directe d’un compact de D est un compact de (E ′ , N ′ ).
En particulier, si f va de R dans R et est continue sur R, l’image d’un segment de R par f est un segment de R.
Théorème de Heine. Si f est continue sur un compact, alors f est uniformément continue sur ce compact.
Théorème (continuité de la norme). L’application N : (E, N) → (R, | |) est continue.
x 7→ N(x)
Théorème (continuité d’une application linéaire). f est une application linéaire de (E, k kE ) dans (F, k kF ).
f est continue sur E si et seulement si ∃k ∈ R+ / ∀x ∈ E, kf(x)kF 6 kkxkE .
Si E est de dimension finie, toute application linéaire, forme linéaire, application multilinéaire . . . est continue sur E.
Conséquence. Les sev d’un evn de dimension finie sont fermés.

2.3 Dérivation
Théorème de Rolle. f est une application définie sur un segment [a, b] de R à valeurs dans R. Si f est continue sur
[a, b], dérivable sur ]a, b[ et vérifie f(a) = f(b), alors il existe c ∈]a, b[ tel que f ′ (c) = 0.
Théorème des accroissements finis. f est une application définie sur un segment [a, b] de R à valeurs dans R. Si f est
f(b) − f(a)
continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[ alors il existe c ∈]a, b[ tel que = f ′ (c).
b−a
Le théorème de Rolle et le théorème des accroissements finis sont faux pour les applications de R dans C ou les applications
de R dans Rn , n > 2.
Théorème. f est une application définie sur un segment [a, b] de R à valeurs dans R ou C. Si f est continue sur [a, b], de
classe C1 sur ]a, b] et si f ′ a une limite réelle ou complexe en a, alors f est de classe C1 sur [a, b].
Formule de Taylor-Laplace. Soit f une application définie sur un intervalle I de R à valeurs dans R ou C de classe
Cn+1 sur I. Alors, pour tout (a, b) ∈ I2 ,
n Zb
X f(k) (a) k (b − t)n (n+1)
f(b) = (b − a) + f (t) dt.
k! a n!
k=0

Inégalité des accroissements finis. Soit f une application définie sur un intervalle I de R à valeurs dans R ou C,
dérivable sur I. On suppose que |f ′ | est majorée par le réel M sur I. Alors, pour tout (a, b) ∈ I2 , |f(b) − f(a)| 6 M|b − a|.


2
Inégalité de Taylor-Lagrange. Soit f une application définie sur un intervalle I de R à valeurs dans R ou C, n + 1
fois dérivable sur I. On suppose que |f(n+1) | est majorée par le réel Mn+1 sur I. Alors, pour tout (a, b) ∈ I2 ,
n
X f(k) (a) Mn+1 (b − a)(n+1)
f(b) − (b − a)k 6 .
k! (n + 1)!
k=0


2.4 Intégration
Soit f une
Z x fonction continue sur un intervalle I de R à valeurs dans R ou C. Alors, pour tout x0 de I, la fonction
F : x 7→ f(t) dt est de classe C1 sur I et ∀x ∈ I, F ′ (x) = f(x).
x0


3 Séries numériques
un+1
Règle de d’Alembert. (un ) est une suite complexe, ne s’annulant pas à partir d’un certain rang telle que a
un
une limite ℓ ∈ [0, +∞].
• Si 0 6 ℓ < 1, la série de terme général un converge absolument.
• Si ℓ > 1, la série de terme général un diverge grossièrement.
Produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes. Si les séries de termes généraux un et vn sont absolu-!
+∞ +∞
n
! +∞
X X X X
ment convergentes, alors la série de terme général w...