Chap 2 : Séries numériques


Chap 2 : Séries numériques
I. Généralités
 ou
n
Une série à valeur dans est un couple (un ,U n ) où (un )n  et n  , U n   uk
k 0



(un ) est le terme général de la série, (U n ) la suite des sommes partielles. On note  un pour (un ,U n )
La série décalée à l'ordre p de  un est  vn où n  , vn  un p
L'ensemble des séries muni des lois naturelles est un  ev

u n série de terme général dans
n 

 un converge si la suite U n   uk converge. La limite de U n est la somme de la série U   un
k 0 n 0

u n diverge si la suite (U n ) diverge

On dit que un et vn sont de même nature lorsque (un converge ssi vn converge)

 n 

 um série convergente de somme U . Le reste d'ordre n de  um est Rn   um   uk  U  U n  m0 k 0
u
m k 1
m



(I )
Equivalence suite-série : (un )n converge   (un1  un ) converge

Divergence grossière : un converge  (un )n  0
Une sombinaison linéaire de séries convergentes converge. CV  DV  DV (/! DV  DV  ?)

 1    n   

q   q  (1  q)   q   q  1
(I ) n 1
n
converge ssi | q | 1  somme : 
n

 1  q  n 0  n 0 n 0



II. Séries à termes positifs
(un )n  


u n série à termes positifs :  U n croît
 u n converge ssi (U n )n est majorée
 u n diverge ssi (U n )n  

 u série à termes positifs
n

  injection de dans , et (vn ) n  (u ( n ) ) n : u n CV   vn CV de somme V  U
  bijection de dans , et (vn )n  (u ( n ) ) n : u n CV   vn CV, les sommes sont les mêmes

n
 extraction. (un )n   ,U n   uk (U n ) CV  (U ( n ) ) CV
k 0



u n et  vn séries à termes positifs tels que n  , un  vn : v n CV  un aussi avec U  V


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Chap 2 : Séries numériques

(un )n , (vn )n   un ~ vn   vn et  un sont de même nature



Application utile : un série à termes positifs. vn  ln(1  un ) u n CV   vn CV (un  0:DL)

Critères multiplicatifs : (un ) n ,(vn ) n  *
 .
  un  
v
CV   un CV   pr :  () : un0  p    vn  p 
un1 vn1
Si n0  tq n  n0 ,  : un  O(vn ) et n
0



un vn   vn   0
0




u
Théorème de d'Alembert : (un )n  *
 On SUPPOSE qu'il existe k    {} tel que n1  n 
k
un
Si k  1,  un converge Si k  1, un   Si k  1, on ne peut rien dire

un1 q n1
D : q tq k  q  1 n0 / n  n0 , q  thm 
un qn

III. Comparaison série-intégrale
 x
a  , f  C ([a, [, ) On dit que  f converge lorsque F : x  f possède une limite en  
a a

On dit que  f diverge sinon
a


 1 x x x1 1
 1
f avec f : x
x
  1   f  ln x   : DV
1
  1:  f 
1

1 1
CV ssi   1 (DV sinon)


f  C pm ([a, [, ) avec f  0. On a équivalence entre :

(i )  a
f converge
x
(ii ) F:x a
f est majorée sur [a, [
...