Chap 13 : Algèbre linéaire


Chap 13 : Algèbre linéaire
I. Familles libres, familles liées, bases
I ensemble, corps commutatif.
I
 F(I , ) (I )
 {(i )iI  I
/ supp(i )  {i  I / i  0} est fini} (ce sont des  ev)
E  ev , ( xi )iI  E I , (i )iI  (I )
 x
iI
i i  
isupp( i )
i xi


 (I )  E

x  ( xi )iI  E (I )
 x ( )


i iI
i xi est linéaire, son image est Vect ( xi )iI


libre si a est injective (liée, sinon)

(ai )  E I est génératrice si a est surjective
une base de E si  est un isomorphisme
 a


0  (ai ) ou k  j, ak  a j  (ai ) liée.
Une sous-famille d'une famille libre est libre. Une sur-famille d'une famille liée est liée
Une base est une famille génératrice minimale

E, F  ev, (ei )iI base de E. ( fi )iI  F I !  L ( E, F ), i  I , (ei )  f i
 injective  ( fi )i libre  surjective  ( fi )i génératrice  isomorphisme  ( fi )i base

Liberté de famille de fonctions  Analyse locale : équivalents/limites, développement limité
X ( X  1)...( X  n  1)
(I )
Polynômes de Hilbert : H 0 ( X )  1, H n ( X )  H n ( X  1)  H n ( X )  H n1 ( X )
n!
d
P  [ X ], d  deg P, P( )   (1 ...d )  d 1
, P   k H k  a0 , k  0, d , P(ak ) 
k 0


II. Théorie de la dimension finie
Si E possède une base finie (e1...en ), toute famille ( x1...x p ) avec p  n  1 est liée

n
Pas dans : (2,3) est génératrice, mais ne contient pas de base

F et G sev du  ev de dimension finie E. Si F  G et dim F  dim G, alors F  G

III. Endomorphismes et dimension finie
E, F  ev

 H  Im u
u  L ( E , F ), H un supplémentaire de ker u dans E. u  est un isomorphisme Im u
H
 x u ( x)
Thm du rang : u  L ( E, F ). Si E est de dimension finie, Im u aussi et dim(ker u)  dim(Im u)  dim E

Si E et F ont la même dimension, u  L ( E, F ) surjective  injective  isomorphisme
Faux en dimension infinie, même si E  F (dérivation des polynômes...)

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Chap 13 : Algèbre linéaire
Interpolation de Lagrange : x1 ...xn  2 à 2 distincts, a1 ...an  .
X  xi
n n
!P  n 1 [ X ] / i  1, n , P( xi )  ai Lk   , P   ak Lk
i 1 xk  xi k 1
ik

Interpolation d'Hermite :  ou , x1...xn  2 à 2 distincts, a1...an , b1...bn 
  2 n 1 [ X ], i  1, n , P( xi )  ai et P '( xi )  bi (P ( P( xi ), P '( xi ))i inj)
(I )
A  algèbre asso. unitaire intègre. A de dim. finie  A est un corps (x ax lin, inj  bij)

IV. Rang
E et F  ev

u  L ( E, F ) est de rang fini lorsque Im u est de dim. finie. Alors, rg u  dim(Im u)

E de dim finie, de base (e1...en )  u  L ( E, F ), rg u  rg(u(e1 )...u(en ))
u  L ( E , F ) de rang fini, w  L ( E ', E ), v  L ( F , F ')  v u et u w sont de rang fini et :
r (u w)  rg(u ) et rg(v u )  rg(u ), avec égalité si w / v est un isomorphisme

rg(u v)  rg(v) ssi Im v  ker u  {0} || rg(u v)  rg(u) ssi Im v  ker u  E || | rg(u)  rg(v) | rg(u  v)

V. Sommes, sommes directes
p
E1...E p  ev de dim finie. E1  ...  E p est de dim finie, dim( E1  ...  E p )   dim Ek
k 1



 F1  ...  Fp  E

F1 ...Fp sev du  ev E j
( x1 ,..., x p ) x1  ...  x p


 
La somme de F1 ...Fp est Im j , notée 
Fj  Vect 
Fj . 
Fi 
 i 1, p 
j 1, p j 1, p  
F1 ...Fp sont en somme directe lorsque j est injective : c'est alors un isomorphisme : F1  ...  Fp 
j 1, p
Fj

On note alors 
j 1, p
Fj   Fj , et on dit que F1 ...Fp sont supplémentaires lorsque 
j 1, p
Fj  E
j 1, p



F1...Fp en somme directe  ( x1...x p )  F1  ...  Fp , x1  ...  x p  0  x1  ...  x p  0

F et G sont en somme directe ssi F  G  {0}
F1 ...Fp sont en somme directe ssi j  2, p ,( F1  ...  Fj 1 )  Fj  {0}

F1...Fp de dimension finie


dim   Fj    dim F j
p
dim( F  G )  dim F  dim G  dim( F  G )
 j 1, p  j 1
Si  j est une base de Fj ,   1  ...   p est une base de 
...