Exercice 5 *** : filtrage numérique d’un
signal sinusoïdal composite (1/11) Enoncé
On considère la chaîne de traitement de signal dont le schéma fonctionnel
(conforme au schéma général du cours § 3.9)
3 9) est donné cici‐après:
après:
Echantillonneur Unité de calcul Filtre de
idéal lissage idéal
x(t) xe(t) x(n) Traitement y(n) ye(t) s(t)
x CAN numérique CNA G(Ω)
H(z)

  (t  kTe )
k  

 Le signal analogique appliqué à l’entrée est le signal sinusoïdal composite:
x(t) = A sin(2π 50 t + ψ) + B sin(2π 200 t) + C cos(2π 300 t) + D cos(2π 500 t)
avec: A = 1 ; B = 2 ; C = 4 et D = 3
 L’échantillonnage est idéal, au pas Te = 1,25 ms (soit Fe = 800 Hz)
 Après le convertisseur analogique/numérique (CAN), on réalise le traitement
numérique
é caractérisé
é é par l’l’algorithme:
l h
y(n) = 1/2 x(n) + 1/4 [x(n‐2) + x(n+2)]
 Après le CNA,
CNA on applique un filtrage de lissage idéal,
idéal de gain en fréquence:
G(Ω) = Te e‐jΩτ pour Ω ≤ Ωc = π/Te et 0 sinon (Passe‐Bas idéal de fc = Ωc/2π = fe/2)
19.08.11 Traitement Numérique du Signal Diapo N°240
 Exercice 5 *** : filtrage numérique d’un
signal sinusoïdal composite (2/11) Enoncé
1) Calculer la réponse impulsionnelle (RI) h(n) et la FT H(z) du système à temps
discret (filtre H). Représenter h(n). Quel est le type et l’ordre de ce filtre ?
Déterminer sa réponse en fréquence et en déduire son module (amplitude) et
son argument
g (phase).
(p ) Ce filtre n’est pas
p causal,, pourquoi
p q ? Il peut
p facilement le
devenir, tout en conservant le même gain en amplitude; préciser comment ?
Justifier que le nouveau filtre, causal, est un RIF d’ordre 4 à phase linéaire
2) Représenter
Représenter, en module
module, les spectres des 6 signaux de la chaîne
NB: les spectres des signaux analogiques (à temps continu) seront représentés
sur un intervalle de pulsation ‐2π/Te < Ω ≤ 2π/Te , tandis que ceux des signaux
éi
numériques di
(à temps discret)) le
l seront sur la
l plage
l 2 < ω ≤ 2π
‐2π 2
3) Donner l’expression temporelle du signal analogique à la sortie de la chaîne,
à savoir s(t)
()
4) Déterminer l’expression temporelle du signal numérique en sortie du CAN , à
savoir x(n)
5) C
Calculer
l l lla TFD à 16 points
i d de ce signal
i l x(n)
( )
19.08.11 Traitement Numérique du Signal Diapo N°241
 Exercice 5 *** : filtrage numérique d’un
signal sinusoïdal composite (3/11) Corrigé
1) Caractérisation du filtre numérique H:
La RI h(n) étant la réponse de H à l’entrée δ(n), l’équation récurrente donne:
h(n)
h(n) = 1/2 δ(n) + 1/4 [δ(n‐2)
[δ(n 2) + δ(n+2)] 1/2
/
1/4 1/4
/
• • •1 2 3• n
En passant aux TZ, on obtient la FT: ‐3 ‐2 ‐1 0

H(z) = 1/2 + 1/4 [z‐2 + z2] ‐1

Le filtre H est un RIF d’ordre 4, qui a les 5 coefficients: {1/4; 0; 1/2; 0; 1/4}
Sa réponse en fréquence est la fonction, réelle et paire, comme h(n):
1  e  2 j  e 2 j  1  cos 2
H e   
j
 1  H e j    cos ²
2 2  2 avec:
ω = 2π f/fe
 Amplitude du gain: |H(ejω)| = cos²ω
D’où:
D où:
 Déphasage:
Dé h A [H( jω
Arg[H(e j )] = 0


19.08.11 Traitement Numérique du Signal Diapo N°242
 Exercice 5 *** : filtrage numérique d’un
signal sinusoïdal composite (4/11) Corrigé
1) suite:
Ce filtre n’est pas causal car h(‐2) ≠ 0
Pour le rendre causal, il suffit de retarder sa RI h(n) de 2 échantillons
→ h’(n) = h(n‐2) = 1/4 [δ(n) + 2 δ(n‐2) + δ(n‐4) ] , RI d’un filtre RIF d’ordre 4
à phase linéaire car symétrique par rapport à n = 2 (cf. cours § 9.2)
2) Spectres des signaux le long de la chaîne:
2a) Spectre X(f) du signal analogique x(t):
x(t)
x(t) = sin(2π 50 t + ψ) + 2 sin(2π 200 t) + 4 cos(2π 300 t) + 3 cos(2π 500 t)

x1(t) x2(t) x3(t) x4(t)
fréquence
fréq uence f1 = fe/16 = 50 Hz f2 = 4 f1 = fe/4 f3 = 6 f1 = 3fe/8 f4 = 10 f1 = 5fe/8
amplitude A=1 B=2 C=4 D=3
Le spectre d’un cosinus d’amplitude A et de fréquence f0 comprend 2 raies
d’
d’amplitude
li d A/2 sur les f é ces ‐ f0 et f0; pour un sinus,
l fréq i on iinversera lla raie
i à ‐ f0
19.08.11 Traitement Numérique du Signal Diapo N°243
 Exercice 5 *** : filtrage numérique d’un
signal sinusoïdal composite (5/11) Corrigé
Représentation du spectre X(f) du signal analogique x(t):
X(f)
(f) x1 (f1 = 50 Hz)
2‐ x2 (f2 = 4 f1)
‐ x3 (f3 = 6 f1)
1‐ x4 (f4 = 10 f1)
‐
| | | | | | | | | | | | | | | | 0 | | | | | | | | | | | | | | | | f/f1
‐ 16 ‐10 ‐6 ‐4 ‐1 1 4 6 10 16
(= ‐ f/fe) (= f/fe)

2b) Spectre Xe(f) du signal échantillonné xe(t):
On sait que l’échantillonnage d’un signal s(t) a pour effet de périodiser 
son
spectre 2 4) S e ( f )  (1 / Te )  S a  f  k / Te 
t au pas fe ett que l’l’on a ((cf.f cours § 2.4):
k  
Soit donc à calculer ici toutes les raies ainsi générées à partir des 4 composan‐
( ) dans la bande utile [[‐fe fe], avec fe = 16 f1 = 800 Hz , en
tes sinusoïdales de x(t)
tenant compte de leur amplitude respective donnée par la figure ci‐dessus
19.08.11 Traitement Numérique du Signal Diapo N°244
 Exercice 5 *** : filtrage numérique d’un
signal sinusoïdal composite (6/11) Corrigé
X(f) ‐ f1 f1 ‐ 4 f1 4 f1 ‐ 6 f1 6 f1 ‐ 10 f1 10 f1 Calcul des
composantes
X(f+ffe)
X(f+ 15 f1 17 f1 12 f1 20 f1 10 f1 22 f1 6 f1 26 f1 spectrales
du signal
X(f‐‐fe) ‐ 17 f1 ...