Exercice 11** : analyse de 2 filtres définis
par leur équation récurrente (1/3) Enoncé
Filtre 1 ; équation de récurrence: y(n) + b y(n‐1) = x(n)
1a) En déduire que la Réponse Impulsionnelle (RI) est la suite h(n)=(‐b)n (n≥0)
1b) Quelle condition imposer au coefficient b pour assurer la stabilité ?
1c) Déterminer la FT H(z) sous forme de fraction rationnelle en z‐11. Préciser
alors le type (RIF ou RII‐AR ou RII‐ARMA ? ) et l’ordre du filtre
1d) Retrouver h(n) à partir de H(z)

Filtre 2 ; y(n) = a x(n) + b x(n‐1) + c x(n‐2) + d x(n‐3)
2a)) Préciser le type ( RIF ou RII ) et l’ordre de ce filtre
2b) Donner sans calcul la suite h(n), Réponse Impulsionnelle (RI) de ce filtre
H(z) ordonnée en puissances de z‐1
2c) Déterminer sa FT H(z),
2d) Quelles conditions imposer aux coefficients {a; b; c; d} pour avoir un filtre
à phase linéaire ? Quel en est alors le retard de groupe τ ?
2e) Pour a=d=1 et b=c=3 , démontrer que: G(f) = |2 cos 2πf |3 , gain en fréqce
19.08.11 Traitement Numérique du Signal Diapo N°188
 Exercice 11** : analyse de 2 filtres définis
par leur équation récurrente (2/3) Corrigé
Filtre 1; équation de récurrence: y(n) + b y(n‐1) = x(n)

1a) Pour x(n)=δ(n), on a: h(n) = δ(n) ‐ b. h(n‐1) , soit pour les valeurs
successives de n: h(0)
( ) = 1 ‐ b.0 = 1
h(1) = 0 ‐ b.1 = ‐b
h(2) = ‐ b.(‐b)= (‐b)² , etc…
D’où
D ( b)n (pour n ≥ 0 et h(n)=0 pour n < 0)
où, par récurrrence: h(n) = (‐b)

1b) La stabilité impose: ∑|h(n)| < ∞ , soit ici |b| < 1

1c) L’équation de récurrence donne: Y(z) [1 + b z‐1] = X(z) , d’où la FT
Y ( z) 1
H ( z)  
X ( z ) 1  b z 1
On en déduit qu’il s’agit d’un filtre RII / AR d’ordre 1

1d) On a: h(n)=TZ‐1[H(z)] = ((‐b)
b)n.u(n)
u(n) (cf
(cf. tables de TZ
TZ, cours § 5.9)
5 9)

19.08.11 Traitement Numérique du Signal Diapo N°189
 Exercice 11** : analyse de 2 filtres définis
par leur équation récurrente (3/3) Corrigé
Filtre 2: y(n) = a x(n) + b x(n‐1) + c x(n‐2) + d x(n‐3)
2a) Compte tenu de l’équation de récurrence, on a un filtre RIF à 4
coefficients, donc d’ordre n = 3
2b) La suite h(n) est donc celle de ses coefficients: h(n)= { a; b; c; d; 0 …}}
Expression analytique: h(n) = a δ(n) + b δ(n‐1) + c δ(n‐2) + d δ(n‐3)
2c) L’équation de récurrence donne: Y(z) = [ a + b z‐1 + c z‐2 + d z‐3 ]. X(z) , d’où:
Y ( z)
H ( z)   a  bz 1  cz 2  dz 3
X ( z)
C filtre
2d) Ce filt RIF à 4 coefficients
ffi i t sera à phase h li é i sii sa RI h(n)
linéaire h( ) estt
symétrique autour de τ = n/2 = 1,5 soit: a = d et b = c
Le retard de groupe est donc: τ = 1,5 (correspond en fait à 1,5 Te secondes)
2e) Pour a=d=1 et b=c=3 , le gain en fréquence G(f) = H(e2πjf) s’écrit:
G(f) = | 1 + 3 e‐2πjf + 3 e‐4πjf + e‐6πjf | = |1 + e‐2πjf |3 = |e‐πjf |3.|(eπjf+e‐πjf)|3
soit: G(f) = |2 cos πf|3

19.08.11 Traitement Numérique du Signal Diapo N°190
 Exercice 12 ** : RI et structure
de réalisation de 2 filtres (1/4) Enoncé

On considère les 2 algorithmes ci
ci‐dessous:
dessous:
y(n) = 0,2 [x(n)+x(n‐1)+x(n‐2)+x(n‐3)+x(n‐4)] y(n) = 0,2 [x(n)‐x(n‐5)] + y(n‐1)
1) Calculer les termes de la réponse impulsionnelle ou RI, h(n), pour n variant
de ‐2 à 10
2) Indiquer les caractéristiques de ces 2 filtres mises en évidence par leurs
algorithmes
l ith (équations
(é ti récurrentes)
é t ) ett leur
l RI:
RI récursivité
é i ité ou ttype dde filt
filtre (RIF,
(RIF
RII/AR, RII/ARMA), ordre, causalité, stabilité
3) Proposer
p une structure de réalisation de chaqueq algorithme
g à partir
p de son
équation récurrente et des 3 opérateurs de base (retard unitaire, addition,
multiplication par une constante):
Te + α
4) Montrer que ces 2 algorithmes sont équivalents, d’une part en utilisant les
équations récurrentes qui les définissent, d’autre part en calculant les FT en z
associées?
19.08.11 Traitement Numérique du Signal Diapo N°191
 Exercice 12 ** : RI et structure
de réalisation de 2 filtres (2/4) Corrigé
1) Calcul des 2 RI:
Algorithme 1: h(n) = 0,2 [δ(n)+δ(n‐1)+δ(n‐2)+δ(n‐3)+δ(n‐4)], soit:
h(n) = 0,2 { 0; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 0; 0; 0 } pour ‐2 ≤ n ≤ 10
Algorithme 2: h(n) = 0,2
0 2 (0 ‐ 0) + 0 = 0 pour n= ‐2 et n = ‐1
h(0) = 0,2 (1 ‐ 0) + 0 = 0,2
h(1) = h(2) = h(3) = h(4) = 0,2 (0 ‐ 0) + 0,2 = 0,2
h(5) = 0,2
0 2 (0 ‐ 1) + 0
0,2
2=0
h(6) = h(7) = h(8) = h(9) = h(10) = 0,2 (0 ‐ 0) + 0 = 0, soit:
h(n) = 0,2 { 0; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 0; 0; 0 } pour ‐2 ≤ n ≤ 10
Les 2 algorithmes ont donc la même RI, donc la même FT

2) Caractéristiques des 2 filtres numériques:
Algorithme 1: filtre RIF à 5 coefficients, donc d’ordre 4, causal et stable
Algorithme
g 1: filtre RII/ARMA
/ d’ordre 5,, causal et stable,, en fait équivalent
q au
précédent (cf. question 4)
19.08.11 Traitement Numérique du Signal Diapo N°192
 Exercice 12 ** : RI et structure
de réalisation de 2 filtres (3/4) Corrigé
3) Structures de réalisation des 2 algorithmes:
Al i h
Algorithme 1:
1 y(n)
( ) = 0,2
0 2 [x(n)+x(n‐1)+x(n‐2)+x(n‐3)+x(n‐4)]
[ ( ) ( ) ( 2) ( 3) ( )]

x(n) Te Te Te Te
0,2
+ + + + y(n)

Algorithme 2: y(n) = 0,2 [x(n)‐x(n‐5)] + y(n‐1)

x(n) Te Te Te Te Te
‐1

0,2
02
+ + y(n)

Te

19.08.11 Traitement Numérique du Signal Diapo N°193
 Exercice 12 ** : RI et structure
de réalisation de 2 filtres (4/4) Corrigé
4) Equivalence des 2 algorithmes:
P
Partons d
de l’algorithme
l’ l i h 1,
1 appliqué
li é successivement
i à y(n)
( ) et y(n‐1):
( 1)
y(n) = 0,2 [x(n)+x(n‐1)+x(n‐2)+x(n‐3)+x(n‐4)]
y(n‐1) = 0,2 [x(n‐1)+x(n‐2)+x(n‐3)+x(n‐4)+x(n‐5)]
Par différence, on obtient l’algorithme 1:
y(n) ‐ y(n‐1) = 0,2 [x(n) ‐ x(n‐5)]
Les 2 algorithmes
g sont donc équivalents
q
On peut aboutir au même résultat en calculant les 2 FT; il suffit pour cela
d’appliquer la TZ aux 2 membres de chacune des 2 équations récurrentes...