Chapitre 1
Oscillateur
harmonique
Pour Pierre Simon de Laplace, la nature est le fondement
de la découverte scientifique, les mathématiques n’en étant
qu’un instrument. Philosophiquement, il est l’un des initiateurs
du déterminisme selon lequel tout est réglé par les lois de la
nature. Dans son Essai philosophique sur les probabilités
publié en 1814, il explique : Une intelligence qui, pour un
instant donné, connaîtrait toutes les forces dont la nature est
animée et la situation respective des êtres qui la composent, si
d’ailleurs elle était assez vaste pour soumettre ces données à
l’analyse, embrasserait dans la même formule les mouvements
des plus grands corps de l’univers et ceux du plus léger des
atomes ; rien ne serait incertain pour elle, et l’avenir,
comme le passé, serait présent à ses yeux. Laplace avait aussi
Pierre Simon de Laplace
compris que cet esprit idéal ne pouvait exister ; c’est pourquoi 1749-1827
il s’attacha tant à développer le calcul des probabilités.
 „„ Objectifs
„ Ce qu’il faut connaître
Z L’équation différentielle canonique d’un oscillateur harmonique
Z La définition et la caractérisation pratique d’une position d’équilibre
Z Les expressions de l’énergie potentielle élastique, de l’énergie cinétique
et de l’énergie mécanique

„ Ce qu’il faut savoir faire
Z Établir et reconnaître l’équation différentielle qui caractérise un oscillateur
harmonique
Z Résoudre l’équation différentielle à partir de conditions initiales données
Z Caractériser le mouvement en utilisant les notions d’amplitude, de phase,
de période, de fréquence et de pulsation
Z Contrôler la cohérence de la solution obtenue avec la conservation de l’énergie
mécanique
 „„ Résumé de cours


„ Équation différentielle modèle de l’oscillateur harmonique
‰ Définition
On appelle oscillateur harmonique à un degré de liberté tout système dont l’évolution au cours
du temps est décrite par une grandeur u(t) solution de l’équation différentielle :
u  Ȧ02 u 0
avec Ȧ0 une constante appelée pulsation propre de l’oscillateur.

‰ Exemple du mobile accroché à un ressort horizontal
Considérons un objet mobile M de masse m, fixé à un ressort de raideur k, de longueur à vide
A 0 et de masse négligeable. On suppose que cet objet peut glisser sur un support horizontal,
sans frottements (ni du support, ni de l’air). On repère sa position par l’abscisse x.
JJG
ez
JG
JJG JJ
G M g
ey ex O x

– La position d’équilibre est une position xéq où M peut rester immobile : alors x 0 et
x 0 (caractérisation cinématique).

Pour déterminer xéq , on applique le principe fondamental de la dynamique (PFD) à M à
JG G
l’équilibre, dans le référentiel terrestre R supposé galiléen, soit ¦ F 0 .
(Nous reviendrons plus en détails sur ces notions au chapitre 11.)
– Si on étire ou comprime initialement le ressort, ou bien si on donne à la masse une vitesse
initiale, et qu’on laisse alors le système évoluer, on constate que la masse oscille
périodiquement autour d’une position donnée.
k k
Ces oscillations obéissent à l’équation différentielle : x x
 xéq
m m
JG G
que l’on obtient en appliquant le PFD à M en mouvement, soit ¦ F m a( M )R .
Cette équation différentielle linéaire relie x et ses dérivées temporelles en ne faisant intervenir
que des constantes du problème (k, m, A 0 ) : c’est l’équation du mouvement. Elle peut encore
k
s’écrire u  Ȧ02 u 0 avec Ȧ0 et u x  xéq (écart à la position d’équilibre).
m
D Méthode 1.1. Établir l’équation du mouvement d’une masse accrochée à un ressort

Nous verrons au chapitre 12 que cette équation différentielle décrit plus généralement toutes les
situations où un point matériel se trouve au voisinage d’une position d’équilibre stable.

OSCILLATEUR HARMONIQUE 3 „„
„ Équation horaire de l’oscillateur harmonique
‰ Solutions de l’équation de l’oscillateur harmonique
Les solutions de l’équation différentielle peuvent s’écrire sous l’une des deux formes
équivalentes :
u (t ) A cos(Ȧ0 t )  B sin(Ȧ0 t ) ou bien u (t ) X m cos(Ȧ0 t  ij) (avec X m ! 0 ).
Les deux constantes d’intégration (A et B ou bien Xm et ij) s’obtiennent à l’aide des conditions
initiales.
D Méthode 1.2. Résoudre l’équation différentielle du mouvement
D Méthode 1.3. Passer d’une expression des solutions à une autre

La représentation graphique de la fonction u (t ) X m cos(Ȧ0 t  ij) est donnée ci-dessous :
u (t ) 2ʌ
T0 T0
Ȧ0
Xm

X m cos(ij)

t



Xm



‰ Grandeurs caractéristiques des oscillations
X m (! 0) est l’amplitude des oscillations ; elle correspond à la valeur maximale de u(t).
(Ȧ0 t  ij) est la phase à un instant t, et ij est la phase à l’origine, qui n’a pas d’interprétation
physique autre que d’imposer la valeur de u(t) à l’instant initial : u (0) X m cos(ij) .
2ʌ
T0 est la période propre des oscillations ; elle correspond à la plus petite durée au bout
Ȧ0
de laquelle la fonction u(t) se répète identiquement à elle-même. Comme la pulsation propre Ȧ0
1 Ȧ0
et la fréquence propre f 0 , la période propre T0 est indépendante des conditions
T0 2ʌ
initiales : on parle d’isochronisme des oscillations.
Ȧ0 et f 0 ont la dimension de l’inverse d’un temps ; Ȧ0 s’exprime en rad/s, f 0 en hertz (Hz).

Remarque
L’indice 0 utilisé pour la pulsation propre, la période propre et la fréquence propre ne fait pas
référence à un état initial. Il signale simplement que ces grandeurs sont caractéristiques de
l’évolution libre de l’oscillateur harmonique (sans amortissement ni excitation extérieure).


„„ 4 CHAPITRE 1
„ Conservation de l’énergie mécanique
‰ Notion générale d’énergie
La grandeur énergie a été introduite en physique avec l’idée que, quels que soient les
phénomènes, on peut toujours trouver une certaine quantité totale qui se conserve : chaque
phénomène nouveau conduit à ajouter un terme d’énergie supplémentaire, de manière à obtenir
une somme constante.
Cette démarche générale sera mise en forme plus précisément au chapitre 21.

‰ Conservation de l’énergie mécanique pour un oscillateur harmonique
– L’énergie cinétique Ec d’un point matériel de masse m se déplaçant à une vitesse v est
1 2
définie par Ec mv .
2
Elle se conserve pour un point se déplaçant à vitesse constante, ou bien à l’équilibre (où elle est
nulle). Mais dans le cas étudié précédemment, elle ne se conserve pas.
1
– En revanche, si on lui ajoute le terme Epe k (A  A 0 ) 2 , appelé énergie potentielle
2
élastique, on constate que la somme Em Ec  Epe , appelée énergie mécanique, se conserve.
D Méthode 1.4. Établir la conservation de l’énergie mécanique

– Dans des problèmes où l’altitude z du point M varie, il sera nécessaire d’ajouter dans
l’énergie potentielle un autre terme, l’énergie potentielle de pesanteur Epp r mgz ( cte) , pour
obtenir une énergie mécanique Em Ec  Ep totale constante.
D’autres cas d’énergies potentielles seront vus à partir du chapitre 12.




OSCILLATEUR HARMONIQUE 5 „„
 „„ Méthodes


„ Comment obtenir l’équation différentielle de l’oscillateur ?
‰ Méthode 1.1. Établir l’équation du mouvement d’une masse
accrochée à un ressort

L’équation différentielle du mouvement de l’oscillateur horizontal peut s’obtenir
par projection du principe fondamental de la dynamique sur le vecteur unitaire
caractérisant la direction du mouvement. On doit préalablement faire l’inventaire
des forces qui s’exercent sur la masse, et écrire leurs composantes précisément en
fonction des notations de l’énoncé.

...