Formulaire de trigonométrie circulaire

B b
cotan(x) Kb


sin(x) M bH cos(x) = abscisse de M
b b
tan(x) sin(x) = ordonnée de M
x
b b1 tan(x) = AH
cos(x) A
cotan(x) = BK

eix = zM




π sin(x) cos(x) π 1
Pour x ∈
/ + πZ, tan(x) = et pour x ∈
/ πZ, cotan(x) = . Enfin pour x ∈
/ Z, cotan(x) = .
2 cos(x) sin(x) 2 tan(x)
Valeurs usuelles.
x en ◦
0 30 45 60 90
π π π π
x en rd 0
6 4 3 2
√ √
1 1 2 3
sin(x) 0 √ = 1
2 2 2 2
√ √
3 1 2 1
cos(x) 1 √ = 0
2 2 2 2
1 √
tan(x) 0 √ 1 3 ∞
3
√ 1
cotan(x) ∞ 3 1 √ 0
3

∀x ∈ R, cos2 x + sin2 x = 1
π 1
/ + πZ, 1 + tan2 x =
∀x ∈ .
2 cos2 x
1
/ πZ, 1 + cotan2 x =
∀x ∈ .
sin2 x

addition d’un tour addition d’un demi-tour angle opposé angle supplémentaire
cos(x + 2π) = cos x cos(x + π) = − cos x cos(−x) = cos x cos(π − x) = − cos x
sin(x + 2π) = sin x sin(x + π) = − sin x sin(−x) = − sin x sin(π − x) = sin x
tan(x + 2π) = tan x tan(x + π) = tan x tan(−x) = − tan x tan(π − x) = − tan x
cotan(x + 2π) = cotan x cotan(x + π) = cotan x cotan(−x) = − cotan x cotan(π − x) = − cotan x
angle complémentaire quart de tour direct quart de tour indirect
π π π
cos( − x) = sin x cos(x + ) = − sin x cos(x − ) = sin x
2 2 2
π π π
sin( − x) = cos x sin(x + ) = cos x sin(x − ) = − cos x
2 2 2
π π π
tan( − x) = cotan x tan(x + ) = − cotan x tan(x − ) = − cotan x
2 2 2
π π π
cotan( − x) = tan x cotan(x + ) = − tan x cotan(x − ) = − tan x
2 2 2



c Jean-Louis Rouget, 2008. Tous droits réservés. 1 http ://www.maths-france.fr
 Formules d’addition Formules de duplication
cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b cos(2a) = cos2 a − sin2 a
cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b = 2 cos2 a − 1
sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a = 1 − 2 sin2 a
sin(a − b) = sin a cos b − sin b cos a sin(2a) = 2 sin a cos a


tan a + tan b 2 tan a
tan(a + b) = tan(2a) =
1 − tan a tan b 1 − tan2 a
tan a − tan b
tan(a − b) =
1 + tan a tan b

Formules de linéarisation
1 1 + cos(2a)
cos a cos b = (cos(a − b) + cos(a + b)) cos2 a =
2 2
1 1 − cos(2a)
sin a sin b = (cos(a − b) − cos(a + b)) sin2 a =
2 2
1
sin a cos b = (sin(a + b) + sin(a − b))
2

Formules de factorisation cos x, sin x et tan x Divers
en fonction de t=tan(x/2)
p+q p−q 1 − t2 x
cos p + cos q = 2 cos cos cos x = 1 + cos x = 2 cos2
2 2 1 + t2 2
p+q p−q 2t x
cos p − cos q = −2 sin sin sin x = 1 − cos x = 2 sin2
2 2 1 + t2 2
p+q p−q 2t
sin p + sin q = 2 sin cos tan x = cos(3x) = 4 cos3 x − 3 cos x
2 2 1 − t2
p−q p+q
sin p − sin q = 2 sin cos sin(3x) = 3 sin x − 4 sin3 x
2 2


Résolution d’équations
cos x = cos a ⇔ sin x = sin a ⇔ tan x = tan a ⇔
∃k ∈ Z/ x = a + 2kπ ∃k ∈ Z/ x = a + 2kπ ∃k ∈ Z/ x = a + kπ
ou ou
∃k ∈ Z/ x = −a + 2kπ ∃k ∈ Z/ x = π − a + 2kπ

Exponentielle complexe
ix
∀x ∈ R, e = cos x + i sin x.
Valeurs usuelles
√
1 3 √ iπ/4
e0 = 1, eiπ/2 = i, eiπ = −1, e−iπ/2 = −i, e2iπ/3 = j = − + i , 2e = 1 + i.
2 2

Propriétés algébriques
∀x ∈ R, |eix | = 1.
eix 1
∀(x, y) ∈ R2 , eix × eiy = ei(x+y) , iy
= ei(x−y) , = e−ix = eix
...