22/06/2020 Fonctions continues
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Fonctions continues
Limites de fonctions
Soit f : I → ℝ une fonction, a un point de I ou une extrémité de I , et ℓ ∈ ℝ . On dit que f

tend vers ℓ en a si

∀ε > 0, ∃η > 0, ∀x ∈ I , |x − a| < η ⟹ |f (x) − ℓ| < ε.


Soit f : I → ℝ une fonction, a une extrémité de I . On dit que f tend vers +∞ en a si

∀A > 0, ∃η > 0, ∀x ∈ I , |x − a| < η ⟹ f (x) > A.


Soit f : [a, +∞[→ ℝ et ℓ ∈ ℝ . On dit que f tend vers ℓ en +∞ si

∀ε > 0, ∃A > 0, ∀x ∈ [a, +∞[, x ≥ A ⟹ |f (x) − ℓ| < ε.



Proposition : Si f est définie en a et admet une limite en a, alors f (a) = limx→a f (x).


Soit f : I → ℝ et a ∈ I . On dit que f admet ℓ ∈ ℝ comme limite à droite en a si

∀ε > 0, ∃η > 0, ∀x ∈ I , a ≤ x < a + η ⟹ |f (x) − ℓ| < ε.


Soit f : I → ℝ et a ∈ I . On dit que f admet ℓ ∈ ℝ comme limite à gauche en a si

∀ε > 0, ∃η > 0, ∀x ∈ I , a − η < x ≤ a ⟹ |f (x) − ℓ| < ε.



Proposition : Soit f : I → ℝ et a un point à l'intérieur de I . Alors f admet une limite en
a si et seulement si f admet une limite à droite et une limite à gauche en a.

Théorème (caractérisation séquentielle de la limite) : f admet pour limite ℓ en a si et
seulement si, pour toute suite (xn ) qui converge vers a, alors (f (xn )) converge vers ℓ.

Toutes les opérations usuelles sur les limites (somme, produit, quotients), valables pour les
suites, se transposent avec une preuve identique pour les fonctions.

Proposition (composition des limites) : Si f : I → J et g : J → ℝ sont telles que
limx→a f (x) = b et limy→b g(y) = ℓ , alors limx→a g ∘ f (x) = ℓ .



Théorème (encadrement) : Si f , u, v : I → ℝ sont trois fonctions telles que, pour tout
x ∈ I , u(x) ≤ f (x) ≤ v(x) , si limx→a u(x) = limx→a v(x) = ℓ, alors limx→a f (x) = ℓ .


Proposition (passage à la limite dans une inégalité) : Soient f , g : I → ℝ deux
fonctions admettant des limites finies en a. Si pour tout x ∈ I , f (x) ≤ g(x) , alors
limx→a f (x) ≤ limx→a g(x) .


Théorème (limite monotone) : Soit f : [a, b[→ ℝ une fonction croissante et majorée.
Alors f admet une limite (à gauche) en b.

Continuité
Soit f : I → ℝ une fonction et a ∈ I .

On dit que f est continue en a si f admet pour limite f (a) en a :
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∀ε > 0, ∃η > 0, ∀x ∈ I , |x − a| < η ⟹ |f (x) − f (a)| < ε.



Théorème (caractérisation séquentielle de la continuité) : f est continue en a si et
seulement si, pour toute suite (xn ) qui converge vers a, alors (f (xn )) converge vers f (a).

On parle de continuité à droite ou de continuité à gauche lorsqu'on utilise les notions de
limite à droite et de limite à gauche.
On dit que f est continue sur I si f est continue en tout point de I .
Toute combinaison linéaire, tout produit, toute composée, tout quotient dont le
dénominateur ne s'annule pas de fonctions continues est une fonction continue.

Grands théorèmes sur la continuité

Théorème des valeurs intermédiaires : Soit f : [a, b] → ℝ une fonction continue. Soit
γ ∈ ℝ tel que γ est compris entre f (a) et f (b) . Alors il existe c ∈ [a, b] tel que

f (c) = γ .


Démonstration en vidéo!
En particulier, l'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.

Théorème (image d'un segment) : Si f : [a, b] → ℝ est continue, alors f est bornée et
atteint ses bornes.

Démonstration en vidéo!
En particulier, l'image d'un segment par une application continue est un segment.

Dichotomie
L'algorithme de dichotomie permet de déterminer une valeur approchée d'une solution de
l'équation f (x) = 0. Considérons f : [a, b] → ℝ continue telle que f (a)f (b) < 0 . Ceci signifie
que f (a) et f (b) sont de signes opposés, et par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe
une solution à f (x) = 0 dans l'intervalle [a, b]. Considérons maintenant le milieu de [a, b], le
point c = (a + b)/2 . Alors

si , f (a) et f (c) sont de signes opposés, et donc il y a une solution à l'équation
f (a)f (c) < 0

f (x) = 0 dans l'intervalle [a, c] ;

sinon, c'est f (c) et f (b) qui sont de signes opposés, et donc il y a une solution à l'équation
f (x) = 0 dans l'intervalle [c, b] .


Dans les deux cas, on a réduit l'intervalle [a, b] de départ en un intervalle deux fois plus petit. On
peut alors réitérer l'opération. Voici le fonctionnement de l'algorithme de dichotomie sur la
fonction f (x) = x 3 − 3x + 1.




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L'algorithme implémentant la méthode de dichotomie sous Python, avec précision fixée, s'écrit
simplement :

def dichotomie(a,b,prec):
while b-a>prec:
c = (a+b)/2
if f(a)*f(c) <= 0:
b=c
else:
a=c
return a,b

Continuité, monotonie et injectivité

Théorème : Soit I un intervalle et f : I → ℝ continue. Alors f est injective si et
seulement si f est strictement monotone.

Théorème : Soit I un intervalle et f : I → J une bijection continue. Alors la fonction
réciproque f −1 est continue.

Fonctions uniformément continues
Soit I un intervalle de ℝ et f : I → ℝ . On dit que f est uniformément continue si
2
∀ε > 0, ∃η > 0, ∀(x, y) ∈ I , |x − y| < η ⟹ |f (x) − f (y)| < ε.



Théorème de Heine : Toute fonction continue sur un segment [a, b] est uniformément
continue.

La figure suivante illustre pourquoi la fonction x ↦ x 2 n'est pas uniformément continue sur
[0, +∞[ . Un ε > 0 étant fixé, il faudrait que l'on trouve un écart η > 0 tel que, quelque

soit le choix de a dans [0, +∞[ , dès que |x − a| < η , on a |x 2 − a2 | < ε . Dans la figure
suivante, le choix optimal (=le plus grand possible) de η pour un certain a est fait. Lorsque a
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Fonctions dérivables
Nombre dérivé et fonction dérivée
f (x) − f (a)
La fonction f : I → ℝ est dérivable en a ∈ I si le taux d'accroissement admet
x − a

une limite quand x tend vers a. Dans ce cas, la limite est notée f ′ (a).
Une fonction f : I → ℝ est dérivable en a si et seulement s'il existe α ∈ ℝ et une fonction
ε définie dans un intervalle J ouvert contenant 0, vérifiant l...