Chapitre 9.
Fonctions vectorielles, arcs paramétrés

Jean-Michel Ferrard


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 Table des matières du chapitre 9


Table des matières du chapitre 9



9.1. Dérivabilité et opératns sur les fonctions dérivables
9.2. Fonctions de classe Ck
9.3. Arcs paramétrés
9.4. Construction d’arcs plans, avec des exemples




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 9.1. Dérivabilité et opératns sur les fonctions dérivables


9.1. Dérivabilité et opératns sur les fonctions dérivables




9.1.1. Dérivabilité en un point, sur un intervalle
9.1.2. Opérations sur les fonctions vectorielles dérivables




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 9.1. Dérivabilité et opératns sur les fonctions dérivables 9.1.1. Dérivabilité en un point, sur un intervalle


9.1.1. Dérivabilité en un point, sur un intervalle

On va considérer des fonctions f : I ⊂ R → Rn , avec n ≥ 1.
On dit que f est une fonction vectorielle d’une variable réelle.
Elle est caractérisée par ses fonctions composantes fi : I → R :


∀ t ∈ I, f (t) = f1 (t), f2 (t), . . . , fn (t)
Interprétation cinématique : si n = 2 ou n = 3, on interprétera f comme le
mouvement d’un point M (t) = (x(t), y(t)) ou M (t) = (x(t), y(t), z(t)) du
plan ou de l’espace.
Rn est muni d’une norme quelconque, notée u 7→ kuk.
Selon le contexte, on parlera donc de vecteurs f (t) ou de points M (t) pour
désigner les éléments de Rn .


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 9.1. Dérivabilité et opératns sur les fonctions dérivables 9.1.1. Dérivabilité en un point, sur un intervalle


9.1.1. Dérivabilité en un point, sur un intervalle



Pour tout t0 adhérent de I et tout ` = (`1 , `2 , . . . , `n ) ∈ Rn :


lim f (t) = ` ⇔ ∀ i ∈ J1, nK, lim fi (t) = `i
t→t0 t→t0

Pour les limites et la continuité, on applique les résultats du chapitre  espaces
vectoriels normés .
En revanche, les notions relatives à la dérivabilité n’ont de sens que pour les
fonctions d’une variable réelle.




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 9.1. Dérivabilité et opératns sur les fonctions dérivables 9.1.1. Dérivabilité en un point, sur un intervalle


9.1.1. Dérivabilité en un point, sur un intervalle


Définition (taux d’accroissement entre deux points de I)
Soit f : I → Rn , et soit t0 un élément de I.
f (t) − f (t0 )
Pour tout t 6= t0 , le vecteur Tf (t0 , t) = est appelé taux
t − t0
d’accroissement de f entre t0 et t.

La fonction t 7→ Tf (t0 , t) est définie sur I {t0 } à valeurs dans Rn .
Les composantes de Tf (t0 , t) sont les taux d’accroissement Tfi (t0 , t) (réels) des
composantes fi de f :


∀ t ∈ I {t0 }, Tf (t0 , t) = Tf1 (t0 , t), Tf2 (t0 , t), . . . , Tfn (t0 , t)



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 9.1. Dérivabilité et opératns sur les fonctions dérivables 9.1.1. Dérivabilité en un point, sur un intervalle


9.1.1. Dérivabilité en un point, sur un intervalle
Définition (développement limité d’ordre un en un point)
Soit f : I → Rn , et soit t0 un élément de I.
On dit que f admet un développement limité d’ordre un en t0 s’il existe un
vecteur ` et une fonction vectorielle t 7→ ε(t) tels que :
∀ t ∈ I, f (t) = f (t0 ) + (t − t0 )` + (t − t0 )ε(t), avec lim ε(t) = 0.
t→t0


Un tel développement limité, s’il existe, est unique.
On note encore : f (t) = f (t0 ) + (t − t0 )` + o(t − t0 )
(attention, c’est un  petit o  vectoriel).
Si ` = (`1 , `2 , . . . , `n ), l’existence d’un DL pour f équivaut à l’existence d’un
DL pour chaque composante fi :
f (t) = f (t0 ) + (t − t0 )` + o(t − t0 )


⇔ ∀ i ∈ J1, nK, fi (t) = fi (t0 ) + (t − t0 )`i + o(t − t0 )
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 9.1. Dérivabilité et opératns sur les fonctions dérivables 9.1.1. Dérivabilité en un point, sur un intervalle


9.1.1. Dérivabilité en un point, sur un intervalle


Proposition (dérivabilité d’une fonction vectorielle en un point)
Soit f : I → Rn , et soit t0 un élément de I. Soit ` dans Rn .
Les conditions suivantes sont équivalentes :
f (t) − f (t0 )
• la fonction t 7→ Tf (t0 , t) = est prolongeable par continuité par la
t − t0
valeur ` en t0 .
• en t0 , la fonction f admet le développement limité :
f (t) = f (t0 ) + (t − t0 )` + o(t − t0 )
Si ces conditions sont réunies, on dit que f est dérivable en t0 et on note
f 0 (t0 ) = ` (vecteur dérivé de f en t0 ).



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 9.1. Dérivabilité et opératns sur les fonctions dérivables 9.1.1. Dérivabilité en un point, sur un intervalle


9.1.1. Dérivabilité en un point, sur un intervalle


Proposition (dérivabilité et fonctions composantes)
Soit f : I → Rn , soit t0 dans I, et ` = (`1 , `2 , . . . , `n ) dans Rn .
Les deux propositions suivantes sont équivalentes :
• La fonction f est dérivable en t0 , avec f 0 (t0 ) = `
• Les fi de f sont dérivables en t0 , avec fi0 (t0 ) = `i

En cas de dérivabilité en t0 , on pourra donc écrire :
f 0 (t0 ) = f10 (t0 ), f20 (t0 ), . . . , fn0 (t0 )






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 9.1. Dérivabilité et opératns sur les fonctions dérivables 9.1.1. Dérivabilité en un point, sur un intervalle


9.1.1. Dérivabilité en un point, sur un intervalle
Interprétation géométrique et cinématique
Soit f : I → Rn , dérivable en t0 . On note f (t) ou M (t).
On suppose que f est dérivable en t0 et que f 0 (t0 ) 6= 0.
Il existe un intervalle centré en t0 où f (t) 6= f (t0 ) si t 6= t0 .
f (t)−f (t0 )
Le vecteur Tf (t0 , t) = t−t0 dirige alors la  corde  Dt passant par
M (t0 ) et M (t).
L’hypothèse f 0 (t0 ) 6= 0 exprime que, quand t → t0 , la position limite de Dt est
la droite ∆ passant par M0 et dirigée par f 0 (t0 ).
On dit que ∆ est la tangente en M (t0 ) à l’arc t 7→ M (t).
Le vecteur f 0 (t0 ) (aussi notée M 0 (t0 )), représente le  vecteur vitesse  de
M (t)  à l’instant t = t0 .

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 9.1. Dérivabilité et opératns sur les fonctions dérivables 9.1.1. Dérivabilité en un point, sur un intervalle


9.1.1. Dérivabilité en un point, sur un intervalle


Remarque
Avec les notations précédentes, le cas f 0 (t0 ) = 0 signifie que la vitesse de M (t)
s’annule à l’instant t0 . On dit alors que le point M (t0 ) est un  point
stationnaire  : cela ne veut pas dire pour autant que le point M (t) s’arrête
dans son mouvement (penser à un choc parfait, par exemple).
Dans ce cas, il faut trouver autre chose pour diriger la tangente à la trajectoire
en M (t0 ) (et par exemple le vecteur accélération M 00 (t0 ) dont on reparlera plus
loin).




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 9.1. Dérivabilité et opératns sur les fonctions dérivables 9.1.1. Dérivabilité en un point, sur un interva...