Chapitre 8.
Séries entières

Jean-Michel Ferrard


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 Table des matières du chapitre 8


Table des matières du chapitre 8



8.1. Rayon de convergence d’une série entière
8.2. Régularité de la somme
8.3. Développement en série entière autour de 0
8.4. Séries géométrique et exponentielle




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 8.1. Rayon de convergence d’une série entière


8.1. Rayon de convergence d’une série entière




8.1.1. Rayon de convergence d’une série entière
8.1.2. Calculs de rayons de convergence
8.1.3. Somme et produit de deux séries entières




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8.1.1. Rayon de convergence d’une série entière

Proposition (lemme d’Abel)
Soit (an )n≥0 une suite de nombres réels ou complexes.
Soit z0 un nombre complexe non nul.
On suppose que la suite (an z0n )n≥0 est bornée.
P
Alors an z n est absolument convergente pour |z| < |z0 |.

Définition (rayon de convergence d’une série entière)
Soit (an )n≥0 une suite de nombres réels ou complexes.
Notons I l’ensemble des ρ de R+ tels que (an ρn )n≥0 soit bornée.
Alors I est un intervalle d’origine 0. Soit R = sup(I) (R ∈ R).
P n
On dit que R est rayon de convergence de la série entière an z .

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8.1.1. Rayon de convergence d’une série entière

Premiers exemples
P n
Le rayon de convergence de n! z est R = 0.
P n
Le rayon de convergence de z est R = 1.
P zn
Le rayon de convergence de est R = +∞.
n!

Proposition (convergence ou divergence d’une série entière)
P n
Soit an z une série entière de rayon de convergence R.
P n
• an z converge absolument sur le disque ouvert |z| < R.
En particulier, elle converge absolument sur ]−R, R [.
P
• an z n diverge grossièrement pour tout z tel que |z| > R.


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8.1.1. Rayon de convergence d’une série entière

Définition (disque ouvert et intervalle ouvert de convergence)
P
Soit an z n une série entière de rayon de convergence R.
• L’ensemble {z
P∈ C, |z| < R} est appelé disque ouvert de convergence de la
série entière an z n .
• L’ensemble
P ]−R, R [ est appelé intervalle ouvert de convergence de la série
entière an z n .

Fonction somme d’une série entière
P
Soit R le rayon de convergence de la série entière an z n .
+∞
P
La somme S(z) = an z n est définie pour |z| < R.
n=0



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8.1.1. Rayon de convergence d’une série entière

Remarque importante
+∞
P
z 7→ S(z) = an z n est une fonction d’une variable complexe.
n=0

Le chapitre sur les séries de fonctions ne s’applique qu’aux fonctions
x 7→ fn (x), avec fn : I ⊂ R → K.
On ne peut donc pas utiliser les résultats de ce chapitre, à moins de se
restreindre à ]−R, R [, et de considérer :
+∞
P
x 7→ S(x) = an xn , de ]−R, R [ dans K.
n=0
On parle alors de  série entière d’une variable réelle 



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8.1.1. Rayon de convergence d’une série entière
Remarques et propriétés
Si R = 0, le disque et l’intervalle ouvert de convergence sont vides !
P n
La série an z converge toujours en 0, et la somme est a0 .
P
Si R = 0, la série an z n ne converge qu’en z = 0.
P
On ne change pas le RCV de an z n en modifiant un nombre fini de an .
P P P
an z n , (−1)n an z n ou |an | z n ont le même RCV.
n
P
P n P n+k P an z n, on peut se limiter à n ≥ n0 .
Pour déterminer le RCV de
an z et an z = an−k z ont le même RCV.
n≥0 n≥0 n≥k
P
Si (an )n≥0 est bornée, le rayon de an z n est ≥ 1.
P n
Si (an )n≥0 ne tend pas vers 0, le rayon de an z est ≤ 1.
P P n
Plus généralement, si |an | diverge, le rayon de an z est ≤ 1.
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8.1.1. Rayon de convergence d’une série entière

Comportement sur le bord du disque de convergence
P n
Soit R le rayon de convergence de la série entière
Pan z .n
Si |z0 | = R, on ne peut rien dire a priori de la série an z0 .
Par exemple :
P
Le rayon de convergence de z n est 1.
Il y a divergence (grossière) en tout point du cercle unité.
P zn
Le rayon de convergence de est 1.
n
Il y a divergence en z = 1 et convergence en z = −1.
P zn
Le rayon de convergence de est 1.
n2
Il y a convergence en tout point du cercle unité.

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8.1.2. Calculs de rayons de convergence


Exercice
Pour tout n ≥ 1, soit an la n-ième décimale de π.
P n
Préciser le rayon de convergence R de la série entière an z .
n≥1


Exercice
1
Pour tout n ≥ 2, soit an = .
ln(n) P n
Préciser le rayon de convergence R de la série entière an z .
n≥2




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8.1.2. Calculs de rayons de convergence

Proposition (comparaisons ou calculs de rayons de convergence)
P P
Soit Ra et Rb les rayons de convergence de an z n et bn z n .
• Si |an | = O(|bn |), alors Ra ≥ Rb .
• Si |an | ∼ |bn |, alors Ra = Rb .

Remarques
En particulier, si |an | ≤ |bn | (pour n ≥ n0 ), alors Ra ≥ Rb .
Plus généralement, s?...