Chapitre 6.
Séries numériques

Jean-Michel Ferrard


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 Table des matières du chapitre 6


Table des matières du chapitre 6




6.1. Rappels de 1ère année sur les séries numériques
6.2. Compléments sur les séries numériques




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 6.1. Rappels de 1ère année sur les séries numériques


6.1. Rappels de 1ère année sur les séries numériques




6.1.1. Convergence ou divergence d’une série numérique
6.1.2. Propriétés des séries convergentes
6.1.3. Convergence par comparaison (séries positives)
6.1.4. Convergence absolue




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 6.1. Rappels de 1ère année sur les séries numériques 6.1.1. Convergence ou divergence d’une série numérique


6.1. Convergence ou divergence d’une série numérique
Définition (sommes partielles d’une série)
Soit (un )n≥0 une suite d’éléments de K.
PN
Pour tout N de N, soit SN = un .
n=0
P
On dit que SN est la somme partielle d’indice N de la série un .

Avec ces notations : u0 = S0 et, ∀ n ∈ N∗ , un = Sn − Sn−1 .
La suite (un )n≥0 est donc déterminée par la suite (Sn )n≥0 .
Définition (convergence ou divergence d’une série)
Soit (un )n≥0 une suite de K.
P
On dit que la série un est convergente si la suite (SN )N ≥0 de ses sommes
partielles est convergente.
P
Dans le cas contraire, on dit que la série un est divergente.

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 6.1. Rappels de 1ère année sur les séries numériques 6.1.1. Convergence ou divergence d’une série numérique


6.1. Convergence ou divergence d’une série numérique
Définition (somme d’une série convergente)
P
Soit un une série convergente.
Soit (SN )N ≥0 la suite des sommes partielles.
+∞
P P
On note lim SN = un . C’est la somme de la série un .
N →+∞ n=0

Ne pas confondre  nature  et  somme  d’une série
Déterminer la nature d’une série, c’est dire si elle est convergente ou
divergente. C’est ensuite un autre problème que de calculer la somme (en cas
de convergence, bien sûr).
Parfois les deux problèmes peuvent être traités simultanément, mais l’énoncé
pourra demander de prouver d’abord la convergence, puis de calculer la somme.
Enfin il est fréquent qu’on puisse prouver la convergence d’une série sans
pouvoir en calculer la somme.
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6.1. Convergence ou divergence d’une série numérique
Influence de la modification d’un nombre fini de termes
P
On ne change pas la nature de la série un en modifiant un nombre fini de
un . En revanche, en cas de convergence, ces changements affectent en général
la somme de la série.
P
Si (un ) n’est définie que si n ≥ n0 , on parle de la série un .
+∞
P n≥n0
La somme est notée un (en cas de convergence).
n=n0

Définition (reste d’ordre N d’une série convergente)
P
Soit un une série d’éléments de K, convergente, de somme S.
Soit N ∈ N. On appelle reste d’ordre N de cette série, la quantité
+∞
P PN +∞
P
RN = S − SN = un − un = un
n=0 n=0 n=N +1


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 6.1. Rappels de 1ère année sur les séries numériques 6.1.1. Convergence ou divergence d’une série numérique


6.1. Convergence ou divergence d’une série numérique
Remarques sur les restes d’une série convergente
Par définition de la convergence d’une série, on a lim RN = 0.
N →∞

Attention : on ne doit pas dire qu’une série est convergente si et seulement si
son reste d’indice N tend vers 0, car l’existence même de ce reste suppose déjà
que la série converge.
Exercice
P 1
Montrer que la série n(n+1) est convergente, et de somme 1.
n≥1


Exercice (la série exponentielle)
P xn +∞ n
P x x
Montrer que
n≥0
n! (x réel) converge et : ∀ x ∈ R, n=0
n! = e .

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6.1. Convergence ou divergence d’une série numérique

Exercice (la série harmonique)
P1
Montrer que la série n est divergente.
n≥1


Exercice (la série harmonique alternée)
P (−1)n−1 +∞
P (−1)n−1
Montrer que n converge et : n = ln(2).
n≥1 n=1


Exercice
+∞ n
P x
Pour tout x de ]−1, 1[, montrer que
n=1
n = − ln(1 − x).


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 6.1. Rappels de 1ère année sur les séries numériques 6.1.2. Propriétés des séries convergentes


6.1. Propriétés des séries convergentes
Proposition (linéarité de la somme)

Soit (un )n≥0 et (vn )n≥0 deux suites de K. Soit λ et µ dans K.
P P P
Si un et vn convergent, alors (λun + µvn ) converge et
+∞
P +∞
P +∞
P
(λun + µvn ) = λ un + µ vn
n=0 n=0 n=0

P P
Si λ ∈ K∗ , les séries (λun ) et un ont même nature.
P P P
Si un et vn sont de nature différente, (un +vn ) diverge.
P P
On suppose que les deux séries un et vn divergent.
P
Alors on ne peut rien dire, a priori, de la nature de (un + vn ).
+∞
P +∞
P +∞
...