Chapitre 4.
Isométries et endomorphismes symétriques

Jean-Michel Ferrard


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 Table des matières du chapitre 4


Table des matières du chapitre 4



4.1. Isométries vectorielles, Matrices orthogonales
4.2. Espace euclidien orienté de dimension 2 ou 3
4.3. Isométries vectorielles en dimension 2 ou 3
4.4. Endomorphismes symétriques




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4.1. Isométries vectorielles, Matrices orthogonales




4.1.1. Isométries vectorielles
4.1.2. Matrices orthogonales




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4.1.1. Isométries vectorielles

Définition (isométries vectorielles, automorphismes orthogonaux)
Soit E un espace euclidien. Soit u un endomorphisme de E.
On dit que u est une isométrie vectorielle (ou encore : un automorphisme
orthogonal) si u  conserve la norme , c’est-à-dire si : ∀ x ∈ E, ku(x)k = kxk.

Isométrie vectorielle et automorphisme orthogonal sont synonymes
Toute isométrie vectorielle u de E est bien un automorphisme.
Id et −Id sont des automorphismes orthogonaux de E.
Si u est un automorphisme orthogonal, il en est de même de −u.
Le spectre d’une isométrie vectorielle est inclus dans {−1, 1}.
Considérons (x, y) 7→ (−y, x) de R2 euclidien dans lui-même.
C’est une isométrie vectorielle, mais elle n’a pas de valeur propre.

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4.1.1. Isométries vectorielles


Proposition (caractérisation des isométries vectorielles)
Soit u un endomorphisme d’un espace vectoriel euclidien E.
Les propriétés suivantes sont équivalentes :
• u est une isométrie vectorielle (elle conserve la norme).
• u conserve le produit scalaire : ∀ (x, y) ∈ E 2 , (u(x) | u(y)) = (x | y).
• u transforme toute b.o.n. de E en une b.o.n. de E.
• u transforme une b.o.n. de E en une b.o.n. de E.




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4.1.1. Isométries vectorielles

Définition (groupe orthogonal d’un espace euclidien)
Soit E un espace euclidien.
On note O(E) l’ensemble des automorphismes orthogonaux de E.
Alors O(E) est un groupe pour la composition des applications.
On l’appelle le groupe orthogonal de E.

Proposition (stabilité de l’orthogonal d’un sous-espace stable)
Soit u dans O(E). Soit F un sous-espace vectoriel de E.
Si F est stable par u, alors u(F ) = F et u(F ⊥ ) = F ⊥ .
La restriction de u à F (resp. à F ⊥ ) est donc une isométrie vectorielle de F
(resp. de F ⊥ ).


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4.1.1. Isométries vectorielles

Rappels de terminologie
a) La phrase  F est stable par u  signifie l’inclusion u(F ) ⊂ F
b) u(F ) = F se traduit par  F est globalement invariant par u 
c) On dit que F est invariant point par point si ∀ x ∈ F, u(x) = x
On a les implications c) ⇒ b) ⇒ a) (réciproques fausses).
Cas des symétries et des projections orthogonales
Une symétrie vectorielle orthogonale est dans O(E).
Une projn orthogonale p n’est pas dans O(E), sauf si p = Id.
Plus précisément, si p est la projection orthogonale sur un sous-espace F , alors
kp(x)k ≤ kxk, avec égalité si et seulement si x est dans F (c’est l’inégalité de
Bessel.

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4.1.2. Matrices orthogonales

Définition (matrices carrées orthogonales)
Soit M une matrice carrée d’ordre n à coefficients réels.
Soit u l’endomorphisme de Rn canoniquement associé à M .
On dit que la matrice M est orthogonale si u est un automorphisme orthogonal
de Rn .

Proposition (matrices de passage entre bases orthonormales)
Soit E un espace euclidien, muni d’une b.o.n. B = (ei )1≤ i ≤ n .
Soit M la matrice d’une famille (εj )1≤ j ≤ n dans la base B.
Alors la famille (ε) est une base orthonormale de E si et seulement si la matrice
M est orthogonale.

On peut donc dire que les matrices orthogonales sont donc les matrices de
passage entre bases orthonormales.
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4.1.2. Matrices orthogonales
Remarque préliminaire :
Soit M dans Mn (R), de colonnes C1 , . . . , Cn .
Alors le terme général de A = M t M est aij = Cit Cj .
Proposition (caractérisations de l’orthogonalité d’une matrice)
Soit M dans Mn (R). Les propositions suivantes sont équivalentes :
• La matrice M est orthogonale.
• Les colonnes de M sont orthonormées dans Mn,1 (R)
• La matrice M vérifie l’égalité M t M = In
• La matrice M est inversible et M −1 = M t
• La matrice M vérifie l’égalité M M t = In
• Les lignes de M forment une famille orthonormale M1,n (R)
• La matrice M t est orthogonale.

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4.1.2. Matrices orthogonales

Proposition (le groupe orthogonal O(n) (aussi noté On (R)))
On note O(n) l’ensemble des matrices orthogonales d’ordre n.
Pour le produit des matrices, c’est un sous-groupe de GL(n, R).
On l’appelle le groupe orthogonal d’ordre n.

Proposition (lien entre b.o.n, isométrie et matrice orthogonale)
Soit M la matrice de u ∈ L(E) dans une b.o.n. B de E euclidien.
Les conditions suivantes sont équivalentes :
• u est un automorphisme orthogonal de E (un élément de O(E)).
• M est une matrice orthogonale (un élément de O(n)).

Interprétation : les matrices orthogonales sont les matrices des automorphismes
orthogonaux dans les bases orthonormales.

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4.1.2. Matrices orthogonales

Exemples de matrices orthogonales
   
cos θ − sin θ cos θ sin θ
Les matrices Rθ = sin θ cos θ
et Sθ = sin θ − cos θ
.

On verra que ce sont les seules matrices orthogonales d’ordre 2.
   
2 2 1 cos θ cos ϕ − sin θ cos θ sin ϕ
1
Les matrices 1 −2 2 et  sin θ cos ϕ cos θ sin θ sin ϕ .
3
2 −1 −2 sin ϕ 0 − cos ϕ

Proposition (déterminant d’une matrice orthogonale)
Si M est une matrice orthogonale, alors det(M ) ∈ {−1, 1}
!
1 1
La réciproque est fausse ! ! Considérer par exemple M = .
0 1


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4.1.2. Matrices orthogonales

Remarques
Il existe des matrices orthogonales de déterminant 1 (comme In ) et d’autres
qui sont de déterminant −1 (changer par exemple un coefficient diagonal de In
en −1).
Si on échange deux colonnes (ou deux lignes) d’une matrice orthogonale, on
obtient une matrice...