8 ROTATIE VAN EEN LICHAAM

ROTATIE VAN EEN LICHAAM
8.1 Leg het verschil uit tussen normaalversnelling en tangentiële versnelling. Duid beide
aan op figuur 8.17.




Figuur 8.17

De omtreksnelheid van een punt dat een eenparige veranderlijke cirkelvormige be-
weging doorloopt, verandert voortdurend. Deze verandering van v kun je in twee
delen opsplitsen:
 de verandering van de richting van v ;
 de verandering van de grootte van v .


Door de richtingsverandering van v ontstaat er een normaalversnelling an en door

de verandering van de grootte van v ontstaat er een tangentiële versnelling at .

v2
an 
an heeft als grootte: r
 r  2
richting: de richting loodrecht op de raaklijn aan de cirkel
zin: naar het middelpunt van de cirkel gericht.

v
at heeft als grootte: at 
t
richting: de richting rakend aan de cirkel
zin: de zin van v bij een eenparige versnelde cirkelvormige be-
weging, de tegengestelde zin van v bij een eenparige ver-
traagde cirkelvormige beweging.




Theoretische mechanica 3de graad en BA, Plantyn Mechelen 160
8 ROTATIE VAN EEN LICHAAM
8.2 Waarom kun je de formule M  J   vergelijken met de tweede wet van Newton?

De grootheden van een rechtlijnige beweging kun je vergelijken met deze van een
cirkelvormige beweging.

Rechtlijnige Cirkelvormige
beweging beweging
Kracht – moment F M
Versnelling – hoekversnelling a 
Massa - massatraagheidsmoment m J


Als je dit toepast op M  J   bekom je F  m  a , de tweede wet van Newton.



8.3 Wat is een massatraagheidsmoment?

Het massatraagheidsmoment is een maat voor de weerstand die een lichaam biedt
tegen elke roterende toestandsverandering.

Bij een rechtlijnige beweging is de massa de weerstand die een lichaam biedt tegen
een toestandsverandering. Je kunt het massatraagheidsmoment bij een ronddraai-
ende beweging dus vergelijken met de massa bij een rechtlijnige beweging.


8.4 Wanneer pas je de stelling van Steiner toe?

Als je een massatraagheidsmoment moet bepalen van een lichaam, ten opzichte
van een as die niet door het zwaartepuntvan het lichaam gaat dan pas je de stelling
van Steiner toe.
Ja  Jx  m  ra2

8.5 Wat is de gyrostraal van een lichaam?

De gyrostraal of traagheidsstraal is de afstand van de rotatieas ten opzichte van een
punt met massa m, zodanig dat het massatraagheidsmoment van dat punt gelijk is
aan het massatraagheidsmoment van het lichaam dat door het punt werd vervan-
gen.




Theoretische mechanica 3de graad en BA, Plantyn Mechelen 161
8 ROTATIE VAN EEN LICHAAM
8.6 Een vliegwiel van een pers heeft een diameter van 1,1 m en een breedte van 0,4 m.
Bepaal het massatraagheidsmoment en de gyrostraal van het homogeen vliegwiel
( = 7 800 kg/m3).




Gegeven: D = 1,1 mm
b = 0,4 m
 = 7 800 kg/m³

Gevraagd: J
k

Uitwerking
 Volume van het vliegwiel
  D2
V b
4
  1,12
  0,4 m2  m
4 Figuur 8.18 Pers
 0,38 m3

 Massa van het vliegwiel
mV
 3 kg 
 0,38  7 800 m  m3 
 2 965 kg

 Massatraagheidsmoment van het vliegwiel
m  R2
J
2
2 965  0,552
 kg  m2 
2
 448 kg  m2

 Gyrostraal
J
J  k2  m  k 
m
448  kg  m2 
  
2 965  kg 
 0,389 m

Besluit: het massatraagheidsmoment van het vliegwiel is 448 kgm2 en de gy-
rostraal is 0,389 m.




Theoretische mechanica 3de graad en BA, Plantyn Mechelen 162
8 ROTATIE VAN EEN LICHAAM
8.7 Bereken het massatraagheidsmoment en de gyrostraal van de rotor van een asyn-
chrone motor. Veronderstel dat de massadichtheid van de rotor homogeen is en
6,9 kg/dm³ bedraagt.




Figuur 8.19 Asynchrone motor




Figuur 8.20 Afmetingen van de rotor


Gegeven: figuur 9.19
 = 6 900 kg/m³
Gevraagd: J
k
Uitwerking
 Cilinder 1
  D2
V1  l
4
  0,0422
  0,2 m2  m
4
 277  10-6 m3
m1  V1  
 3 kg 
 277  106  6 900 m  m3 
 1,912 kg
m1  r 2
J1 
2
1,912  0,0212
 kg  m2 
2
 0,422  10 3 kg  m2




Theoretische mechanica 3de graad en BA, Plantyn Mechelen 163
8 ROTATIE VAN EEN LICHAAM
 Cilinder 2
  D2
V2  l
4
  0,162
  0,28 m2  m
4
 5 630  10-6 m3
m2  V2  
 3 kg 
 5 630  106  6 900 m  m3 
 38,8 kg
m2  r 2
J2 
2
38,8  0,082
 kg  m2 
2
 124,3  103 kg  m2

 Cilinder 3
  D2
V3  l
4
  0,0422
  0,1 m2  m
4
 139  10-6 m3
m3  V3  
 3 kg 
 138,5  106  6 900 m  m3 
 0,956 kg
m3  r 2
J3 
2
0,956  0,0212
 kg  m2 
2
 0,211 103 kg  m2

 Massatraagheidsmoment
J  J1  J2  J3
 0,422  103  124,3  103  0,211 103 kg  m2 
 125  103 kg  m2
 0,125 kg  m2
 Gyrostraal
J
J  k2  m  k 
m
0,125  kg  m2 
  
1,912  38,8  0,956  kg 
 0,055 m
 55 mm

Besluit: het massatraagheidsmoment van de rotor is 0,125 kgm2 en de gyrostraal
is 55 mm.


Theoretische mechanica 3de graad en BA, Plantyn Mechelen 164
8 ROTATIE VAN EEN LICHAAM


8.8 Bereken het massatraagheidsmoment en de gyrostraal van onderstaand stalen
vliegwiel. De massadichtheid is 7 800 kg/m³.




Figuur 8.21 Vliegwiel

Gegeven: figuur 9.20
 = 7 800 kg/m3
Gevraagd: J, k
Uitwerking
 Massatraagheidsmoment
Eenheid Wiel Uitsparin...